二次関数をy = a(x – p)² + qの形に変形する方法

高校数学の問題として、二次関数を頂点形y = a(x – p)² + qに変形する方法を解説します。この方法を使うことで、二次関数のグラフの特徴をよりわかりやすく見ることができます。ここでは、具体的に2つの関数を例に取り、変形の過程を説明します。

1. 二次関数の頂点形とは

二次関数の標準形y = ax² + bx + cを、頂点形y = a(x – p)² + qに変形することで、関数のグラフの頂点（p, q）を容易に求めることができます。頂点形では、aは放物線の開き具合、pはx軸の頂点位置、qはy軸の頂点位置を示します。

2. 例1: y = x² + 4x の変形

まず、y = x² + 4x の関数を頂点形に変形します。ステップとしては、次のように行います。

• 平方完成を使って、x² + 4x を (x + 2)² – 4 と変形します。
• よって、y = (x + 2)² – 4 となり、a = 1, p = -2, q = -4 です。

これにより、頂点は (-2, -4) となり、放物線の形状が明確になります。

3. 例2: y = -x² – 6x – 4 の変形

次に、y = -x² – 6x – 4 の関数を変形します。こちらも平方完成を使います。

• -x² – 6x を -(x² + 6x) とし、平方完成します。
• x² + 6x は (x + 3)² – 9 になるので、y = -(x + 3)² + 9 – 4 となります。
• したがって、y = -(x + 3)² + 5 となり、a = -1, p = -3, q = 5 です。

この場合、頂点は (-3, 5) となります。

4. 平方完成の重要性と実用性

平方完成は、二次関数を頂点形に変形する際の重要なテクニックです。特にグラフを描く際や、関数の最小値・最大値を求める際に非常に便利です。平方完成を行うことで、関数の頂点を簡単に求め、放物線の形状を把握できます。

5. まとめ

二次関数を頂点形に変形する方法は、関数のグラフの特徴を理解するために有効な手段です。平方完成を使って変形することで、二次関数の頂点を簡単に求めることができ、放物線の形状を視覚的に捉えることができます。今回の例では、y = x² + 4x と y = -x² – 6x – 4 の二つの関数を頂点形に変形し、それぞれの頂点を求めました。