中学1年生の数学の問題で、「60にできるだけ小さい自然数をかけて、その積がある自然数の2乗になるようにしたい」という問題にどうアプローチすれば良いのか。この記事では、その問題をどのように考えればよいのか、そして「15」という答えに到達する方法をわかりやすく解説します。
問題を整理しよう
まず、問題を整理してみましょう。「60にできるだけ小さい自然数をかけて、その積が自然数の2乗になるようにしたい」という課題です。この問題のポイントは、「60の何倍が完全な平方数（ある数の2乗）になるのか」ということです。
自然数の2乗とは、例えば1, 4, 9, 16, 25のような数です。これらは全て整数の2乗です。問題では、このような平方数になるような「小さい自然数」を見つけなければなりません。
平方数の特徴を理解する
平方数の特徴を理解することが、問題解決の鍵となります。平方数は、その因数分解において、全ての素因数が偶数回現れるという特徴があります。
例えば、36は2×2×3×3で因数分解できますが、全ての素因数が2回ずつ現れるため、36は平方数です。このように、数が平方数であるためには、各素因数の指数が偶数でなければなりません。
60の因数分解を行う
次に、60を因数分解してみましょう。60 = 2 × 2 × 3 × 5です。
この時、平方数にするためには、因数分解した素因数の中で、2の指数と3の指数、5の指数が偶数になるように、何かを掛けなければなりません。現在、2の指数は2回、3の指数は1回、5の指数は1回です。
どの数を掛ければよいか
ここで必要なのは、指数が奇数になっている3と5の素因数を偶数回にすることです。したがって、3と5をそれぞれもう一度掛ければ、全ての素因数が偶数回になり、積が平方数になります。
したがって、掛けるべき数は「3×5 = 15」となります。これにより、60×15 = 900となり、900は30の2乗（900 = 30×30）で、完全な平方数になります。
まとめ
この問題を解くためには、数の因数分解をし、平方数を作るためには各素因数の指数が偶数であることを理解することが重要でした。60に15を掛けることで、平方数である900を得ることができました。
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