今回は、偏差値が高い大学の問題に出てくる確率に関する問題について解説します。特に、条件付き確率を求める問題です。問題の内容として、4個の玉を4つの箱に入れるという状況で、指定された条件をもとに確率を求めるというものです。少し難解に感じるかもしれませんが、順を追って理解していきましょう。
1. 問題の設定と状況の理解
問題では、1番から4番までの4個の玉を、1番から4番までの4つの箱に無作為に入れるという状況が設定されています。このとき、同じ箱に玉が2個以上入ってもよく、玉が1個も入っていない箱があっても構いません。
次に、「自身と同じ番号の箱に入った箱の個数をXとする」とあります。たとえば、1番の玉が1番の箱に入り、2番の玉が2番の箱に入った場合、Xは2になります。問題ではX＝2の場合に、玉がちょうど2個入っている確率を求めることが求められています。
2. 条件付き確率とは？
条件付き確率とは、ある条件が成立している場合における確率を求めるものです。例えば、あるイベントAが起きる確率を求めるとき、別の条件Bが成立している場合のAの確率を求めることを意味します。
今回の問題では、X＝2という条件が与えられています。このとき、玉がちょうど2個入っている確率を求めるわけです。このような条件付き確率を求めるには、条件となる事象が起きる場合の確率と、全体の確率を比較することが必要です。
3. X＝2のときの玉の配置と確率計算
まず、X＝2という条件について考えます。X＝2とは、1番の玉が1番の箱に入り、2番の玉が2番の箱に入った場合など、2個の玉がそれぞれ自分の番号の箱に入っている状態を指します。
次に、この状態で玉がちょうど2個入っている確率を求める方法を見ていきます。全ての玉の配置パターンのうち、X＝2となる場合に玉がちょうど2個入る配置を考え、その確率を求めます。
4. 確率の計算方法
まず、全体の配置パターンの数を考えます。4個の玉を4つの箱に無作為に配置する方法は、4個の玉それぞれが4つの箱のうちどこに入るかを考えると、4の4乗通り、つまり4^4通りの配置が可能です。
次に、X＝2の条件を満たす場合を数えます。玉がちょうど2個入っている状態とは、例えば1番の玉が1番の箱に、2番の玉が2番の箱に入る場合です。このような場合、残りの2個の玉は他の箱に配置されます。この配置パターンの数を求め、全体の配置パターン数に対する割合を計算することで、条件付き確率を求めることができます。
5. まとめ
この問題では、条件付き確率を求める方法として、まず全体の配置パターン数を求め、次に条件となる事象が成立する配置パターン数を数えて、その確率を計算する方法を採用しました。
条件付き確率は、与えられた条件が成立する場合における確率を求める重要な手法であり、この問題でもその考え方を理解することが解答への鍵となります。数学的な問題を解く際には、まず問題の設定を正確に理解し、次にその条件に基づいて計算を進めていくことが大切です。
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