積分の問題でよく出会う形の一つに「∫dx/(3x^2 + 9)」があります。この積分を解くために、逆関数の一つであるarctan（逆タンジェント）を使った方法を解説します。この記事では、この積分をどのようにして解くか、その手順をわかりやすく紹介します。
問題の積分式を確認する
まずは積分式「∫dx/(3x^2 + 9)」を見てみましょう。この式は、分母が二次式であることに注目します。このような積分を解くためには、分母を簡単にするための工夫が必要です。
式を簡単にするために、分母に共通の因数があることに気づきます。具体的には、3を分母と分子に共通して掛け算することで、より扱いやすい形に変換できます。
積分式を簡単な形に変換する
積分式を次のように書き換えます。
∫dx/(3(x^2 + 3))
この形にすることで、積分の解法に進みやすくなります。
arctanを使った解法のステップ
次に、この積分を解くためにarctanを使う方法を解説します。実は、この積分を解くためには、次の公式を利用します。
∫1/(a^2 + x^2) dx = (1/a) * arctan(x/a) + C
ここで、aは定数、xは変数です。式「∫dx/(x^2 + 3)」は、この公式に似た形になっているため、適用することができます。
具体的な計算を行う
式において、a^2 + x^2 の形に合わせるために、a^2 = 3となるように式を調整します。すると、a = √3 となります。これを用いて積分を解くと、以下のように計算できます。
∫dx/(3(x^2 + 3)) = (1/√3) * arctan(x/√3) + C
これが、積分結果となります。
まとめ
「∫dx/(3x^2 + 9)」の積分は、逆関数のarctanを使うことで簡単に解くことができます。まず式を変換し、その後arctanの公式を利用して積分を行いました。このように、積分の問題を解くためには、基本的な公式や変換を活用することが大切です。ぜひ、他の積分問題にもこの方法を試してみてください。
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