微分方程式 (1+x^2)y''+1+y'^2=0 の解法について

このページでは、微分方程式 (1+x^2)y” + 1 + y’^2 = 0 の解法を詳しく解説します。この方程式を解くためには、いくつかの変数変換やテクニックを使用して解答を導く必要があります。

微分方程式の確認

与えられた方程式は次のようになっています：
(1 + x^2)y” + 1 + y’^2 = 0。
ここで、y” は y の二階微分、y’ は y の一階微分を意味します。この方程式は非線形な微分方程式であり、解析的に解くためにはいくつかのステップを踏む必要があります。

まず、(1 + x^2)y” + y’^2 + 1 = 0 という形に書き換えます。この形にすることで、y” を解くためのアプローチが見えてきますが、y” は y’ の関数として現れているため、y’ を新たな変数として考えることが重要です。

y’ を新しい変数 u(x) として、u = y’ と置きます。これにより、y” は u’ と書き換えることができます。すると、元の方程式は次のようになります：
(1 + x^2)u’ + u^2 + 1 = 0。この方程式をさらに解くためには、u’ を u の関数として解く方法を探します。

次に、(1 + x^2)u’ + u^2 + 1 = 0 を変形して、u’ = – (u^2 + 1) / (1 + x^2) という形にします。この形にしたことで、u の変化が x の関数として明示的に表れました。

微分方程式 (1 + x^2)y” + 1 + y’^2 = 0 の解法では、y’ を新しい変数として置き換え、最終的に非線形微分方程式を扱う形となります。解法の一部として、変数変換や微分の技術を駆使して解く方法が必要になります。最後に、積分を行うことで、元の微分方程式を解くことができます。

この微分方程式を解く過程では、変数変換や式の整理が重要な役割を果たしました。微分方程式の解法は一見難しそうに見えますが、適切なアプローチと変数変換を使うことで、解を見つけることができました。