logx と log(1/x) の微分の違いについて

微積分で登場する対数関数にはよく使われる式がいくつかありますが、特に「logx」と「log(1/x)」の微分に関して混乱することがあります。これらは一見似ているようで、微分するときには異なる結果になる理由について説明します。

1. logx の微分について

まず、「logx」を考えてみましょう。logxの微分は、数学的に次のように求められます。

logxの微分 = 1/x

これは、対数の基本的な性質に基づいており、常に成立します。微分とは、関数の変化率を求める操作であり、logxの場合、その変化率は1/xで表されます。

次に、「log(1/x)」の微分を考えます。log(1/x)を微分するとき、まずlog(1/x)の性質を理解する必要があります。対数の性質を利用すると、log(1/x)は次のように書き換えられます。

log(1/x) = -logx

したがって、log(1/x)の微分は、-logxの微分と同じになります。つまり、

log(1/x)の微分 = -1/x

です。これがなぜかというと、log(1/x)の中の1/xという部分が、logxの逆数を取ったものと見なせるからです。

logxとlog(1/x)は、どちらも対数の関数ですが、微分の結果が異なるのは、記述の形が異なるからです。logxは単にxの対数ですが、log(1/x)は1/xの対数です。1/xの対数を微分する場合、-1/xが出てくるため、logxの微分結果とは異なる値になります。

微分に関する基本的な性質として、対数関数の微分は通常、定義に従い、1/xであることを覚えておくと良いです。しかし、対数の引数に変数が含まれている場合、引数の変化に応じて微分結果が異なります。このため、logxとlog(1/x)は微分結果が異なるのです。

logxとlog(1/x)の微分が異なる理由は、対数の性質に基づくものです。logxの微分は1/xであり、log(1/x)の微分は-1/xです。これを理解することで、微分の計算をよりスムーズに行うことができます。理解を深めるために、同様の計算を実際に練習することをお勧めします。