極座標系では、点の位置は半径(r)と角度(θ)で表されます。この問いでは、点(r,θ)と点(-r,θ+π)が同じ位置を表す理由を理解することが求められています。極座標系では、半径が負の値を取る場合、その点は原点から反対側に位置することになります。θ+πという角度は、θから180度回転した位置を示すため、これが同じ点を表すことを示しています。
1. 極座標系の基本
極座標系では、点は半径(r)と角度(θ)で表されます。rは原点からの距離を示し、θはx軸から反時計回りに測った角度です。一般的に、rは非負の値を取りますが、rが負の値を取ると、その点は原点を中心に反対側に位置します。
2. 点(r,θ)と点(-r,θ+π)の関係
点(r,θ)は、原点からrの距離だけ離れた位置にあり、角度θだけ反時計回りに回転した位置です。一方、点(-r,θ+π)は、半径が負の値であり、角度がθから180度（πラジアン）回転した位置を示します。つまり、θ+πは元の角度θから反対側を向いた角度です。このため、rが正であろうと負であろうと、この2つの点は同じ位置を示します。
3. 負の半径とπラジアンの意味
極座標でrが負の値を取ると、その点は原点から反対側に位置します。また、θ+πという角度は、元の角度から180度回転した位置を示すため、結果的に点(r,θ)と点(-r,θ+π)は同じ場所を表すことになります。この点が同じ場所を示す理由は、原点からの距離が反転して、角度も180度回転しているためです。
4. 実際の例を使った理解
例えば、点(3, 45°)は原点から3単位だけ離れた、45°の位置にあります。点(-3, 45°+180°)は、半径が負の値なので、原点から反対側に3単位だけ離れた位置にあり、角度は45°+180° = 225°となります。これら2つの点は、実際には同じ場所に存在します。
まとめ
極座標系では、点(r,θ)と点(-r,θ+π)が同じ位置を示す理由は、負の半径と角度の変化によって、結局同じ点に到達するためです。このように、極座標系では角度と半径を工夫することで、同じ場所を異なる方法で表現することができます。
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