x + y + z = 11 の解の組み合わせ問題の解法

この問題では、方程式 x + y + z = 11 の解のうち、整数である組み合わせを求めることが求められています。具体的には、x, y, z の制約に応じて、どのように解を求めるかを考えます。

① x と y と z が 0 以上のとき

まず、x, y, z が全て 0 以上の整数である場合の解の数を求めましょう。このタイプの問題は、組み合わせを用いて解くことができます。x + y + z = 11 という条件の下で、x, y, z は非負整数であり、整数解の個数を求める方法は、「重複組み合わせ」の考え方に基づきます。

重複組み合わせの公式を使うと、解の個数は次のように求められます：
x + y + z = 11 の非負整数解の個数は、次の式で求めることができます。
C(11 + 3 – 1, 3 – 1) = C(13, 2) = 13 × 12 / 2 = 78

次に、x が 2 以上、y が 1 以上、z が 0 以上の条件下で解を求めます。この場合、x, y, z に制約があるため、まずそれぞれの変数から制約を取り除きます。

具体的には、x’ = x – 2, y’ = y – 1, z’ = z と置き換え、x’, y’, z’ が全て 0 以上の整数であるとします。このとき、新しい方程式は x’ + y’ + z’ = 8 となります。

再び重複組み合わせを使用して解を求めます。
C(8 + 3 – 1, 3 – 1) = C(10, 2) = 10 × 9 / 2 = 45

この問題では、2つのケースを重複組み合わせを使って解きました。最初のケースでは 78 通り、2番目のケースでは 45 通りの解が求められました。それぞれの制約条件に基づき、どのように解くかを理解し、適切な公式を使うことが重要です。