この問題では、分数を区画に分けた数列に関する質問がいくつかあります。分数列を理解し、数学的な方法を使って解いていくことで、数列の性質や計算方法をしっかりと学ぶことができます。この記事では、指定された問題に対してどのように解くべきかをステップごとに解説します。
問題の理解と区画の構成
問題で言う「区画」は、分数を分母がn+1で分子が1からnまでの分数を並べたものです。例えば、最初の区画には1/2が含まれ、次に1/3, 2/3が含まれ、というように、n番目の区画にはn個の分数が含まれるという構造です。この区画に関する問題は、まず区画ごとの構成を理解することが重要です。
この数列の構成方法を理解した上で、実際に問題を解くことに進みましょう。
①10番目の区画の最初の分数とその和の計算
10番目の区画には、分母が11の分数が含まれ、分子が1から10までの数となります。したがって、10番目の区画の最初の分数は1/11です。
次に、10番目の区画に含まれるすべての分数の和を求めます。区画の中の分数はすべて分母が11で、分子が1から10までの数です。和を求める方法は、各分数を足し合わせることです。
1/11 + 2/11 + 3/11 + … + 10/11 = (1 + 2 + 3 + … + 10) / 11
1から10までの合計は55なので、最終的に和は55/11 = 5となります。
②13/15は何番目の区画の何番目の分数か
13/15がどの区画に含まれているかを調べるためには、分母が15の区画を見つける必要があります。区画のn番目の分数は分母がn+1で、分子が1からnまでの数です。したがって、13/15は分母が15の区画に含まれることが分かります。
15番目の区画では、分子が1から15までの数です。13/15はその中の13番目の分数に当たります。よって、13/15は15番目の区画の13番目の分数です。
③分数を既約分数で表し、2/5が何個あるか
次に、すべての分数を既約分数で表すという問題です。既約分数とは、分子と分母が互いに素な分数のことです。2/5はすでに既約分数であるため、この問題においては、2/5がどの区画に含まれているかを調べる必要があります。
2/5が含まれる区画は、分母が5の区画です。5番目の区画には、分母が5で分子が1から5までの数が並びます。この区画に2/5が含まれているため、2/5は1回だけ出現します。
問題で求められているのは、初項から第200項までの間に2/5が何個あるかです。2/5は5番目の区画に1回出現するため、この数列の中で2/5が現れるのは、区画の番号が5, 10, 15, … の倍数の区画で出現します。
したがって、2/5が現れる回数は、1から200までの間で、5の倍数の区画の数を求めればよいです。1から200の間で5の倍数は40個です。したがって、2/5は40回出現します。
まとめ：数列の問題の解き方と考え方
この問題では、数列の区画ごとの構成を理解し、それを使って特定の分数がどの区画に含まれるかを計算しました。区画ごとの分数の並び方を把握することが、問題を解くための第一歩です。また、既約分数を求める問題や、特定の分数が出現する回数を求める問題では、数学的な計算力と問題を解く際のアプローチ方法が重要になります。
このような問題を解く際には、数列の構成や性質をしっかりと理解し、計算を正確に進めることが重要です。練習を重ねていくことで、より効率的に問題を解くことができるようになります。
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