三角関数の問題：y = 4cosθ - 4sin²θ + 10 の最大値と最小値を求める方法

三角関数の問題では、式の最大値や最小値を求めることがよく出題されます。今回の問題では、関数 y = 4cosθ − 4sin²θ + 10 の最大値と最小値を求めることが求められています。この記事では、この関数の最大値と最小値を求めるためのアプローチを解説します。

1. 問題の関数を整理する

まず、関数を整理してみましょう。与えられた関数は y = 4cosθ − 4sin²θ + 10 です。三角関数の式において、sin²θの形が出てきた場合、sin²θ を cos²θ と関連付けて式を変形することが一般的です。

この式を扱うためには、まず sin²θ を cos²θ と結びつけるための恒等式を活用します。特に、sin²θ + cos²θ = 1 という恒等式を使うと、式が簡単になる場合があります。

式を変形した後、最大値と最小値を求めるためには微分を使います。具体的には、y = 4cosθ − 4sin²θ + 10 の関数をθについて微分し、極値を求めることが一般的な方法です。

微分を行うことで、関数の増減を調べ、最大値または最小値を決定します。極値を求めた後、θの値も求めることができます。微分の結果、θに関する条件を得ることができるので、それを基に最大値と最小値のθを求めます。

例えば、与えられた式を微分し、極値を求めるときに、次のような手順を踏みます。まず、cosθの微分は -sinθ であり、sin²θの微分は 2sinθcosθ になります。このようにして、微分後の式を解くことができます。

その後、得られた値を代入し、y の値を計算することで、最大値と最小値を求めることが可能です。θの値に関しては、0 ≦ θ < 2π の範囲内で解を求めます。

解を求めた後は、その値が最大値なのか最小値なのかを確認します。これには、二次導関数を用いた方法や、求めたθを使って関数の値を計算して確認する方法があります。

最大値と最小値は、具体的に計算して確認することで確実に求めることができます。また、計算が上手くいかない場合は、式の変形を丁寧に行い、間違いを避けることが重要です。

三角関数の問題で最大値と最小値を求めるには、与えられた関数を適切に整理し、微分を使って極値を求めます。その後、最大値と最小値を確認し、θの値を求めることで、問題を解くことができます。微分を行う際には計算ミスを避けることが大切です。

今回の問題では、変形と微分をうまく活用することで、最大値と最小値を確実に求めることができます。理解を深めるために、実際に計算を行いながら解いてみてください。