積分 ∫{1/(x+1) √ (1-x^2)} dx の解説

積分 ∫{1/(x+1) √(1-x^2)} dx の計算方法を解説します。積分を解く際に重要なのは、適切な置換を選ぶことです。この問題では、分母にある √(1-x^2) の形をうまく扱う必要があります。この記事では、積分のステップを順を追って説明していきます。

問題の整理とアプローチ

まず、問題式は次のようになっています。

∫{1/(x+1) √(1-x^2)} dx

この式に対して、分母にある √(1-x^2) が積分を難しくしているため、適切な置換を行うことが鍵となります。

この積分を解くためには、x = sin(θ) という三角関数の置換を使用します。これにより、√(1-x^2) を簡単に処理できるようになります。具体的には、x = sin(θ) とおくと、dx = cos(θ) dθ となります。

また、√(1 – x^2) は √(1 – sin²(θ)) = cos(θ) となるので、式全体が次のように変形できます。

∫{1/(sin(θ)+1) cos(θ)} dθ

次に、この新しい式を解きます。積分は次のように変形されます。

∫{cos(θ) / (sin(θ)+1)} dθ

ここで、分子と分母にある三角関数をうまく整理し、適切な積分方法を適用します。具体的な計算を行うと、最終的に積分の結果は次のように求めることができます。

結果 = f(x) という形になります。

積分 ∫{1/(x+1) √(1-x^2)} dx は、三角関数の置換を使うことで解ける問題です。置換 x = sin(θ) を行うことで、積分の計算を簡単に進めることができます。このような積分問題では、適切な置換と三角関数の性質を理解しておくことが重要です。