R^3とR^2の基底に関する線形写像の表現行列の求め方

この問題では、線形写像fの表現行列を求めるための手順を解説します。まず、R^3とR^2の基底が与えられた状態で、線形写像の表現行列をどのように求めるかを理解することが重要です。特に、基底の変換行列を使用した解法についても詳しく解説します。

1. 問題の概要と必要なステップ

問題文には、R^3とR^2の基底、線形写像fに関する情報が与えられています。これらの情報をもとに、求めたい表現行列を見つけるためには、いくつかのステップを踏む必要があります。

まずは、与えられた基底における線形写像fの動きを理解し、それに対応する行列を求めます。その後、新たに与えられた基底に基づいて、求めた行列を変換します。

線形写像fの表現行列を求めるためには、基底ごとの座標変換を理解することが重要です。与えられた基底での写像の動きを求め、適切に行列変換を行うことで、目的の表現行列を得ることができます。

ここでの重要なポイントは、基底の変換行列を使って、新しい基底に対する表現行列を求める方法です。この過程で、Q^-1APという形で行列が変換されます。

問題文におけるf(x)の表現行列を求めるために、まずは与えられた基底を使って線形写像fの作用を計算します。次に、基底の変換行列を求め、その行列を使って最終的な表現行列を得ます。解法を進める過程では、Q^-1APという関係を理解し、適切な行列の計算を行うことが求められます。

具体的には、次のように進めます。

この種の問題では、途中で得られた行列が正しいかどうかを確認するための方法も知っておくと便利です。例えば、得られた行列を使って再度計算を行い、問題文の条件に一致するかを確認する方法があります。

検算の際には、各基底ごとの座標を再確認し、変換行列を使って得られる結果をチェックすることが重要です。これにより、計算ミスを防ぎ、正確な表現行列を得ることができます。

この問題を解くには、まず与えられた基底での線形写像fの動きを理解し、その後基底変換行列を使って新しい基底における表現行列を求める必要があります。Q^-1APという形で行列を変換し、最後に検算を行うことで正しい解を導き出すことができます。