微分の増減表の書き方とf'(x)=0の前後の評価方法

微分を用いた増減表の書き方は、関数の増減や極値を求めるために非常に重要です。特に、f'(x)=0の前後で関数の増減を判断する方法について詳しく解説します。

1. 微分と増減表の役割

増減表は、関数の増加や減少の区間を示すために使用されます。関数の微分を求めることで、その関数が増加しているのか減少しているのかを理解することができます。増減表を作成するためには、f'(x)が0になる点を特定し、その前後の値を調べます。

f'(x)が0になる点は、関数が増加から減少に変わる、またはその逆に変わる可能性のある点です。f'(x)=0となる点を求めた後、その前後の区間で値を代入して、関数の増減を決定します。例えば、f'(x)が正の値を持てば関数は増加、負の値を持てば関数は減少します。

増減表を作成する際には、まず関数の微分を求め、その導関数が0になる点を特定します。次に、その点で区切られる区間ごとに、微分を代入して増減を判断します。増減表は、各区間における関数の増減の傾向を示す重要なツールとなります。

実際に関数f(x)の増減表を作成する例を考えましょう。例えば、f(x) = x^2 – 4x + 3の場合、f'(x) = 2x – 4となり、f'(x) = 0となる点はx = 2です。これを用いて増減表を作成し、x < 2で関数が減少し、x > 2で関数が増加することが分かります。

微分を使った増減表の作成方法は、関数の増減を理解するために非常に有効です。f'(x) = 0の点を特定し、その前後で微分を代入することで、関数が増加または減少している区間を正確に把握することができます。これにより、極値や増減の性質を効率的に求めることができます。