y = log(x) / x のグラフと lim(x → 0+) log(x) / x = -∞ の理解

数学で「y = log(x) / x」のグラフを描くとき、lim(x → 0+) log(x) / x = -∞ になる理由について理解するのは、少し難しいかもしれません。しかし、この問題をしっかりと解説すれば、理解が深まります。この記事では、なぜこの極限が -∞ になるのかを段階的に説明します。

log(x) / x のグラフと極限

まず、y = log(x) / x という関数のグラフを描くことを考えます。log(x) は、x が正の数のときに定義され、x → 0+ のときに負の無限大に近づきます。一方、x は正の数で、x → 0+ では0に近づきます。

この関数の極限を求めるには、x が 0 に近づくときに log(x) / x がどのように振る舞うかを調べる必要があります。

log(x) / x の極限を計算するために、まずはこの関数の挙動を調べます。x が 0 に近づくと、log(x) は非常に大きな負の値を取ります。つまり、log(x) → -∞ です。一方、x は正の値であるため、x → 0+ です。

log(x) の挙動は非常に急激で、x がゼロに近づくにつれて、log(x) の減少の方が速く、結果として log(x) / x の値は -∞ に近づきます。これを極限記号を使って表すと、lim(x → 0+) log(x) / x = -∞ になります。

直感的に考えると、log(x) は x がゼロに近づくと非常に大きな負の値に変わりますが、x 自体もゼロに近づいていきます。このため、log(x) の変化の方が x の変化よりも大きくなるため、最終的にこの比率は非常に小さな値、つまり -∞ になります。

また、この極限が -∞ になる理由を計算で確認するためには、l’Hopitalの定理を使用することもできます。l’Hopitalの定理では、分数の形で極限を計算する際に、分子と分母の微分を取ることで、極限を求めることができます。

l’Hopitalの定理を使って、lim(x → 0+) log(x) / x を計算してみましょう。

まず、分子の log(x) の微分は 1/x です。次に、分母の x の微分は 1 です。したがって、この極限は次のように計算できます。

lim(x → 0+) log(x) / x = lim(x → 0+) (1/x) / 1 = lim(x → 0+) 1/x

ここで、1/x は x → 0+ のときに無限大に発散するので、この極限は -∞ となります。

y = log(x) / x の極限 lim(x → 0+) log(x) / x = -∞ の理由は、log(x) が非常に急激に減少するため、x がゼロに近づくにつれてその比率が -∞ に近づくからです。これは、log(x) の減少の速さが x の減少よりも大きいからです。

この問題を理解するためには、log(x) の性質や、極限の計算方法（例えば l’Hopitalの定理）を知っておくことが役立ちます。数式を使った詳細な説明を通じて、この極限の意味を深く理解することができます。