誤差の伝播則とは？四則演算における誤差伝播の基本的な理解と例題

誤差の伝播則は、測定値の誤差が計算結果にどのように影響するかを理解するための重要な概念です。しかし、教科書で見たときにその式がどのように導かれたのかが不明で、混乱することがあります。この記事では、誤差の伝播則の基本的な理解を深めるために、その背景や式がどのように出てくるのかを解説します。

誤差の伝播則とは？

誤差の伝播則とは、測定や計算における誤差がどのように他の計算結果に影響を与えるかを定量的に表現する法則です。実際の測定においては、すべての値に誤差が含まれており、その誤差が最終的な結果にどの程度影響を与えるのかを計算するために使用されます。

誤差の伝播則は、特に関数の演算を行う際に重要です。例えば、2つの値の和や積、商を求めるとき、それぞれの値に誤差が含まれるため、その結果にも誤差が伝播していきます。この法則を理解することで、誤差がどのように影響するかを予測できるようになります。

誤差の伝播則の式は、実は偏微分を用いて導かれます。偏微分は、多変数関数の微分に関する手法で、特に関数が複数の変数に依存している場合に有用です。誤差の伝播則では、各変数の誤差が結果に与える影響を求めるために、偏微分を使って誤差を「伝播」させます。

例えば、関数 f(x, y) が x と y の関数であるとき、その誤差は次のように計算されます。

Δf = (∂f/∂x) * Δx + (∂f/∂y) * Δy

ここで、∂f/∂x と ∂f/∂y は f の x および y に関する偏微分であり、Δx と Δy はそれぞれの変数の誤差です。この式から、各変数の誤差が最終的な結果にどのように影響するかが分かります。

誤差の伝播則は四則演算においても適用されます。ここでは、加算、減算、乗算、除算の場合について誤差がどのように伝播するかを簡単に説明します。

加算と減算： 2つの値 a と b の和や差を計算する場合、誤差は単純に加算されます。つまり、Δ(a ± b) = Δa + Δb です。
乗算： 2つの値 a と b の積を計算する場合、誤差の伝播は相対誤差に基づいて計算されます。Δ(ab) = ab * (Δa/a + Δb/b) です。
除算： 2つの値 a と b の商を計算する場合、誤差の伝播は相対誤差を用いて計算されます。Δ(a/b) = (a/b) * (Δa/a + Δb/b) です。

これらの誤差の伝播式は、計算結果の精度をどのように管理するかを考える際に非常に役立ちます。