連立方程式の解法において、ある定数の値を決定する問題に直面することがあります。今回は、次の連立方程式において「自明ではない解」を得るために、定数aの値をどのように求めるかを解説します。
連立方程式の設定
まず、与えられた連立方程式を確認しましょう。
1. x + 2y + az = 0
2. −2x − 3y − z = 0
3. ax + 4y + 3z = 0
これらの方程式から、定数aの値を求めるためには、「自明ではない解」について考える必要があります。
自明解と非自明解とは？
まず、「自明解」というのは、解が全てゼロ（x = 0, y = 0, z = 0）となる解のことを指します。この解は、数学的には意味があるものの、実際の問題では意味をなさないことがあります。したがって、「自明ではない解」を求めるためには、このゼロ解以外の解が存在する条件を導き出す必要があります。
連立方程式が自明ではない解を持つためには、係数行列の行列式がゼロでないことが条件です。行列式がゼロでない場合、唯一の解が得られます。
行列式を用いた解法
この問題を解くためには、まず係数行列を求め、その行列式を計算します。連立方程式の係数行列は次のようになります。
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ -2 & -3 & -1 \\ a & 4 & 3 \end{pmatrix}$$
行列式 |A| を求めることで、aの条件を導き出します。
行列式の計算方法は、3×3行列の場合、次の式を使います。
$$|A| = 1 \times \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} – 2 \times \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ a & 3 \end{vmatrix} + a \times \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ a & 4 \end{vmatrix}$$
それぞれの行列式を計算し、結果をaに関して解くことで、aの値を求めることができます。
解の求め方と結果
最終的に行列式をゼロに設定することで、定数aに対する条件を得ることができます。この条件を満たすaの値により、「自明ではない解」を持つ解が得られます。
まとめ
今回の問題では、行列式を使って自明ではない解を求める方法を解説しました。定数aの値が決まると、連立方程式の解が明確になり、問題の解法が理解できます。行列式を使うことにより、数値の計算とその意味をしっかりと確認することができます。
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