本記事では、A_i (i=1,2,…) を R^n の部分集合としたとき、任意の ε > 0 に対して A_i を可算個の有界閉区間 I_j で覆って Σv(I_j) < ε とできるなら、∪A_i についても同じことができることの証明を行います。この問題は、集合のカバーに関する問題で、特に有界閉区間とその体積に関する理解が重要です。
1. 問題の整理と目標
与えられた条件は、各 A_i を可算個の有界閉区間 I_j で覆うことができ、さらにその体積の合計が ε より小さいというものです。目標は、∪A_i についても同様のカバーが可能であり、Σv(I_j) < ε となるようにすることです。
2. 可算個の有界閉区間での覆いの基礎
まず、A_i を各 i に対して可算個の有界閉区間 I_j で覆っているという前提を確認しましょう。この時、v(I_j) は各区間 I_j の体積を意味し、体積の合計が ε より小さいと仮定されています。すなわち、
Σv(I_j) < ε です。
この条件が示すのは、A_i の各部分集合が所定の体積で覆われ、さらにその合計が ε より小さいことです。この覆いが集合 ∪A_i にも適用できるかどうかを確認する必要があります。
3. ∪A_i への適用
次に、∪A_i に対して同じように覆いを適用する方法を考えます。A_i をそれぞれ有界閉区間 I_j で覆った状態で、∪A_i も同様に有界閉区間で覆うことができるはずです。具体的には、各 A_i を覆うために使われた I_j の集合を適切に組み合わせて、∪A_i 全体を覆う有界閉区間を構築します。
この時、I_j の体積の合計は次のように考えられます。
Σv(I_j) < ε という条件が各 A_i に対して成り立っているため、その合計が加算されても ∪A_i に対する体積が ε より小さいことが示されます。
4. 証明の結論
したがって、A_i を可算個の有界閉区間で覆い、その体積の合計が ε より小さい場合、∪A_i も同様の方法で有界閉区間で覆うことができ、その体積の合計も ε より小さくなります。これにより、与えられた条件を満たす覆いが存在することが確認されました。
5. まとめ
本記事では、A_i を可算個の有界閉区間で覆う問題に対して、∪A_i についても同様の覆いが可能であることを証明しました。このような問題は、集合のカバーとその体積の管理に関する基本的な理論に基づいています。可算個の有界閉区間を扱うことで、計算や理論的な理解を深めることができます。
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