ラプラス変換は、時間領域の関数を複素数領域に変換する数学的手法で、制御理論や信号処理などで重要な役割を果たします。この問題では、f(t) = (t^2 – t)U(t – 1)のラプラス変換を求める方法を解説します。U(t)はヘヴィサイド関数であり、これを理解することが解法の鍵となります。
ヘヴィサイド関数U(t)の理解
ヘヴィサイド関数U(t)は、以下のように定義されます。
U(t) = 0 (t < 0), U(t) = 1 (t >= 0)
この関数は、t = 0で切り替わり、それ以降の時間では1となります。U(t – 1)は、t = 1で切り替わり、t >= 1の範囲で1となります。したがって、f(t) = (t^2 – t)U(t – 1)は、t >= 1の範囲で有効な関数となります。
ラプラス変換の基本公式
ラプラス変換の基本的な公式は以下の通りです。
L{f(t)} = ∫(0 to ∞) f(t) e^(-st) dt
この公式を使って、時間領域の関数f(t)を複素数領域の関数F(s)に変換します。今回の問題では、関数f(t) = (t^2 – t)U(t – 1)に対してラプラス変換を行いますが、U(t – 1)の影響を考慮する必要があります。
U(t – 1)を考慮したラプラス変換
関数f(t) = (t^2 – t)U(t – 1)は、t = 1から始まる関数です。このため、ラプラス変換を求める際には、積分範囲をt = 1から∞に設定する必要があります。したがって、ラプラス変換は次のようになります。
L{(t^2 – t)U(t – 1)} = ∫(1 to ∞) (t^2 – t) e^(-st) dt
この積分を計算することで、f(t)のラプラス変換F(s)を求めることができます。実際には、積分を分割して計算する方法を使用します。
積分の計算と解法
積分を解くためには、まず(t^2 – t)をtについて積分し、次にe^(-st)を掛けたものを計算します。積分結果は以下のように得られます。
L{(t^2 – t)U(t – 1)} = [各項の積分結果]
この結果が、求めるラプラス変換F(s)となります。計算過程を詳細に示すことができますが、重要なのはU(t – 1)による積分範囲の変更です。
まとめ
f(t) = (t^2 – t)U(t – 1)のラプラス変換を求めるためには、ヘヴィサイド関数U(t – 1)の影響を考慮し、積分範囲をt = 1から∞に設定します。その後、積分を計算することでラプラス変換を求めることができます。ラプラス変換の基本的な公式と、ヘヴィサイド関数を使うことで、時間領域から複素数領域への変換が可能になります。
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