数列において、与えられた公式「an = Sn – Sn-1」を使って、一般的に数列の和を求めることができます。この公式を利用すると、特定のnにおける部分和を簡単に表すことができますが、逆にSn – Sn-1 = anを使ってSnがどのように表現できるのかについても理解することが重要です。この記事では、Snをanの和として表す方法を解説します。
Sn – Sn-1 = an とは？
まず、公式「an = Sn – Sn-1」について理解しておきましょう。この式は、数列のn番目の項anが、部分和Snとその前の部分和Sn-1の差であることを示しています。具体的には、Snは数列の最初のn項の和を意味し、Sn-1は最初のn-1項の和です。
この公式は、数列の任意のn番目の項を求める際に非常に便利です。たとえば、数列の一般項を求めたい場合、この公式を使うことで、n番目の項とそれ以前の項を結びつけることができます。
Snをanの和として表す方法
公式「Sn – Sn-1 = an」を使ってSnを求める場合、簡単に言えば、Snは数列の1番目からn番目までの項の合計です。したがって、Snは、a1からanまでのすべての項の和として次のように表現できます。
Sn = a1 + a2 + … + an
この式は、数列の各項の和を求めるための基本的な方法です。Snを求めるには、数列の最初の項からn番目の項までをすべて足し合わせるだけです。
具体例での説明
例えば、数列aが次のような形で与えられているとします。
a1 = 2, a2 = 5, a3 = 8, …
この場合、Snを求めるには、次のように計算します。
S3 = a1 + a2 + a3 = 2 + 5 + 8 = 15
したがって、S3は15になります。Snの求め方は、数列の規則性に応じてどのような数列でも適用可能です。
数列の和の他の表現方法
数列の和を求める方法には、他にも様々な方法があります。たとえば、等差数列や等比数列の場合、公式を使ってより簡単に和を求めることができます。これらの数列では、一般項の式を利用して、和を効率的に計算することが可能です。
等差数列の和は、Sn = n/2 × (2a1 + (n-1) × d)という公式を使って求められ、等比数列の和はSn = a1 × (1 – r^n) / (1 – r) で求められます（r ≠ 1）。
まとめ
「Sn – Sn-1 = an」という公式を使って、Snをa1, a2, …, anの和として表すことができます。具体的には、Snは数列の1番目からn番目までの項の合計であるため、数列の各項を足し合わせることで求めることができます。さらに、数列の規則性に応じて、様々な方法でSnを求めることができます。
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