90を割ると6余り、190を割ると10余る自然数の求め方

「90を割ると6余り、190を割ると10余る自然数を求めよ」という問題は、合同式を使って解くことができます。この問題では、ある自然数が90で割った余りが6、190で割った余りが10であることが条件です。この記事では、この条件を満たす自然数を求める方法を詳しく解説します。

問題の整理

まず、この問題を数式にして整理してみましょう。問題文から、次の2つの条件が得られます。

• ある自然数を90で割ると余りが6
• その同じ自然数を190で割ると余りが10

これを数式にすると、次のような合同式が得られます。

x ≡ 6 (mod 90)

x ≡ 10 (mod 190)

ここで、xは求める自然数です。これらの合同式を解くことで、xを求めることができます。

合同式の解法

合同式を解くためには、中国剰余定理を使用するのが一般的です。しかし、この場合、90と190は互いに素な数ではないため、少し異なる方法を使用する必要があります。

まず、最初の式をx = 90k + 6という形に表すことができます。これを2つ目の式x ≡ 10 (mod 190)に代入していきます。

式の代入と計算

x = 90k + 6 を x ≡ 10 (mod 190) に代入すると、次の式が得られます。

90k + 6 ≡ 10 (mod 190)

これを簡単にすると。

90k ≡ 4 (mod 190)

ここで、90と190の最大公約数は10なので、両辺を10で割ると。

9k ≡ 0 (mod 19)

ここで、9と19は互いに素な数なので、k ≡ 0 (mod 19) という式が得られます。

最終的な答え

k ≡ 0 (mod 19) の解は、k = 19m (mは任意の整数) です。これを元の式に代入してxを求めます。

x = 90(19m) + 6 = 1710m + 6

したがって、x = 1710m + 6 という形で、xが求められます。最小の自然数はm = 0のときで、x = 6です。

まとめ

「90を割ると6余り、190を割ると10余る自然数」の求め方は、合同式を使って解くことができました。最小の自然数はx = 6であり、その後、1710の倍数を加えた数も解となります。このような問題を解くためには、合同式の理解と計算力が必要ですが、しっかりと手順を踏んで解いていくことで解答にたどり着けます。