点（0,12）から曲線に引いた接線の方程式の求め方

この問題では、点（0,12）から曲線y=x³+2x²-6x+4に引いた接線の方程式を求め、その接点の座標を導く方法を学びます。解法のステップに従って、接線の方程式を求めるための数学的なアプローチを詳しく解説します。

1. 問題の設定

まず、問題文に記載されている曲線y=x³+2x²-6x+4を考えます。点（0,12）からこの曲線に引く接線の方程式と、その接点の座標を求めます。

接線の方程式は、一般的にy = mx + bという形で表現されます。ここでmは接線の傾き、bはy切片です。接線の傾きは、曲線の導関数を使って求めます。

まず、曲線y = x³ + 2x² – 6x + 4の導関数を求めます。

y = x³ + 2x² – 6x + 4 の導関数は、d/dx[ x³ + 2x² – 6x + 4 ] = 3x² + 4x – 6 です。これが曲線の傾きを示します。

接点での傾きを求めるためには、点（0,12）に接する場所での傾きを計算します。x=0のとき、導関数に代入してm = 3(0)² + 4(0) – 6 = -6 となります。よって、接線の傾きmは-6です。

接線の方程式は、y = mx + bの形式で表され、傾きmが-6とわかっています。点（0,12）が接点であるため、この点を通る接線の方程式を求めます。

y = -6x + b として、点（0,12）を代入すると、12 = -6(0) + b より、b = 12 となります。

したがって、接線の方程式は y = -6x + 12 となります。

次に、接点の座標を求めます。接線と曲線が交わる点を求めるために、曲線の式 y = x³ + 2x² – 6x + 4 と接線の式 y = -6x + 12 を連立方程式として解きます。

x³ + 2x² – 6x + 4 = -6x + 12 を整理すると、x³ + 2x² = 8 となります。この方程式を解くと、x = 2 となります。

接点のx座標がx = 2であることがわかりました。これを曲線の式に代入してy座標を求めます。

y = (2)³ + 2(2)² – 6(2) + 4 = 16 + 8 – 12 + 4 = 16 です。

したがって、接点の座標は（2, 16）です。

問題の解法をまとめると、接線の方程式は y = -6x + 12 であり、その接点の座標は（2, 16）です。接線の傾きとy切片を求め、接点を求めるために連立方程式を解くことで、解答を導き出すことができました。