環RのイデアルIにおける1がx-1で割り切れるかの確認

この問題では、環Rをℤ[x]（整数係数の多項式環）として、その中のイデアルIがI = (x-1, x+1)であるとき、1がx-1を割り切るかどうかを尋ねています。この記事では、この問題をどのように解決するかをわかりやすく解説します。

環RとイデアルIの設定

まず、環R = ℤ[x]とは、整数係数の多項式の集合です。この中で、イデアルIは(x-1, x+1)として与えられています。このイデアルIは、x-1とx+1という多項式の線形結合から構成されるすべての多項式を含んでいます。

イデアルIにおける問題は、1がx-1で割り切れるかどうかを確かめることです。この質問に答えるためには、1がx-1の倍数として表現できるかを考えます。

1がx-1で割り切れるためには、1が(x-1)の何らかの倍数として表現できる必要があります。つまり、ある多項式f(x)が存在して、次のような式が成り立つ必要があります。

1 = f(x) × (x-1)

もしこのような式が成立するならば、1はx-1で割り切れることになります。

ここで、x-1を用いて1を表現できるかどうかを検討します。まず、(x-1)を含む多項式と1を掛け合わせて1を得る方法を考えます。しかし、x-1のような1次の多項式で1を得るには、適切な定数倍を掛ける必要があり、この場合、x-1で1を割り切ることはできません。

したがって、1はx-1の倍数として表現することはできません。これは、1がx-1で割り切れないことを意味します。

結論として、環ℤ[x]において、イデアルI = (x-1, x+1)の中で、1はx-1で割り切れることはありません。つまり、この場合の答えは「割り切れない」ということになります。この問題を解決するためには、x-1の倍数として1を表すことができないことを確認することが重要です。