この記事では、2次関数と直線の共有点の個数の求め方や、特定の式が3の倍数となるnの値を求める問題について解説します。数学の問題を解く際に必要な考え方と手順をわかりやすく説明しますので、ぜひご参考にしてください。
1. 2次関数と直線の共有点の個数
まず、2次関数f(x) = x^2 – 4x + 5と直線y = mx + 1がどのように交わるかを求めます。共有点の個数は、2つの関数が交わるか、交わらないか、または1点で交わるのかによって決まります。これを求めるには、2つの関数を連立させて解く必要があります。
共有点の個数の分類
f(x)とyの共有点は、次の方程式を解くことで求められます。x^2 – 4x + 5 = mx + 1。これを整理すると、x^2 – (m + 4)x + 4 = 0という2次方程式になります。この方程式の判別式Δを使って、共有点の個数を分類します。
共有点の個数を判別する方法
判別式Δ = (m+4)^2 – 16を求め、その値によって共有点の個数を判定します。Δ > 0のとき、2点で交わり、Δ = 0のとき1点で交わり、Δ < 0のとき交わらないことがわかります。これにより、mの値に応じて共有点の個数を分類できます。
f(x) ≧ mx + 1 を満たすxの範囲
次に、f(x) ≧ mx + 1の不等式を解きます。最初に、x^2 – 4x + 5 ≧ mx + 1を整理し、x^2 – (m+4)x + 4 ≧ 0となります。この不等式を解くことで、xの範囲が求められます。解法には、判別式Δを使って、解の範囲を決定する方法を用います。
2. n^2 + 2n + 3が3の倍数となるnの値
次に、n^2 + 2n + 3が3の倍数となるnの値を求めます。この式が3の倍数になるためには、n^2 + 2n + 3 ≡ 0 (mod 3)となるnを求める必要があります。式を3で割った余りを使って計算を進めます。
計算の流れ
n^2 + 2n + 3を3で割った余りを求めると、nが1または2であるときに3の倍数になります。これにより、nの条件が決まります。
任意の正の整数kに対するnの条件
次に、任意の正の整数kに対して、n^2 + 2n + kが3の倍数となるようなnが存在するためのkの条件を求めます。kが3で割り切れる場合、nの値によってn^2 + 2n + kが3の倍数になります。これにより、kの条件が満たされるとき、nの値が決まります。
まとめ
この記事では、2次関数と直線の共有点の個数を判別する方法、そして3の倍数に関する問題の解法について詳しく解説しました。数学の問題を解く際には、判別式や合同式を活用することで、効率的に解答を導くことができます。問題のポイントを押さえて、さらに深い理解を得るために練習を続けましょう。
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