合同式の解法方法と逆数を使った解法の理解 - 5b≡2 (mod 7) の求め方

合同式とは、ある整数の余りを他の整数と比較する数学的な表現です。特に「逆数を使って解く」という概念は多くの人にとって難解かもしれません。この解説では、「5b≡2 (mod 7)」のような合同式を解く方法、特に逆数の概念をどのように適用するかについて解説します。

合同式とは？

合同式は、ある整数を別の整数で割ったときに得られる余りが等しいという関係を表します。例えば、「a ≡ b (mod m)」は、aとbがmで割ったときに同じ余りを持つことを意味します。これを利用して、複雑な方程式を解くことができます。

この合同式は、5bを7で割ったときの余りが2になる、つまり「5b ≡ 2 (mod 7)」の形です。bを求めるためには、この式を解く必要があります。まずは、bを求めるための逆数の概念を理解することが重要です。

逆数とは、ある数を掛けて1になるような数のことです。例えば、2の逆数は1/2、3の逆数は1/3です。合同式における逆数は、m（この場合は7）の下で乗算逆数を意味します。

逆数を使うには、まずその数が合同式での逆数を持つかを確認します。5と7は互いに素な関係にあるため、5の逆数は7の下で存在します。5の逆数を求めるには、5×x ≡ 1 (mod 7) のような式を解けばよいのです。

ここでxを求めるために、5×1 = 5、5×2 = 10≡3 (mod 7)、5×3 = 15≡1 (mod 7) という計算を行うと、x = 3が逆数であることがわかります。

5b ≡ 2 (mod 7) の式を解くために、両辺に5の逆数（3）を掛けます。このようにして、5×3 = 1なので、式は次のように変形されます。

3 × 5b ≡ 3 × 2 (mod 7) → b ≡ 6 (mod 7)

この結果、b ≡ 6 (mod 7) となり、b = 6が解となります。

具体的な例を使ってさらに理解を深めていきましょう。例えば、5b ≡ 2 (mod 7)という合同式を解く方法を説明しましたが、このような解法はさまざまな整数に対して応用することができます。合同式を解くためには、逆数を求めて両辺に掛けるという手法が非常に有効です。

合同式は、余りの性質を利用して数を解く強力な手法です。「逆数を掛ける」方法を使うことで、合同式を解く際の手順がより簡潔に、効率的に進められます。この解法の理解が深まれば、さらに複雑な合同式も解くことができるようになるでしょう。