関数y=2x²－4ax＋2a²の最小値の求め方：高校数学Ⅰの解法

高校数学の問題で、関数y=2x²－4ax＋2a²の最小値を求める方法を学ぶことは非常に重要です。この問題では、関数の最小値を求めるために、微分を使った方法を用います。この記事では、具体的な解法をステップごとに解説します。

関数の形を確認する

問題の関数は、y = 2x² – 4ax + 2a²という2次関数です。ここで、xが変数、aは定数です。この関数は2次の項があるため、放物線のグラフを描くことができます。

最小値を求めるために、まず関数の形式を整理してみましょう。y = 2x² – 4ax + 2a²を微分して、最小値を求めるためのxの値を見つけます。

関数の微分

次に、この関数を微分します。関数y = 2x² – 4ax + 2a²をxについて微分すると、次のようになります。

y’ = 4x – 4a

微分した結果、y’ = 4x – 4aとなります。これが関数の接線の傾きを示す式です。最小値を求めるためには、この微分が0になるxの値を求めます。

微分方程式を解く

y’ = 0を解いて、xの値を求めます。y’ = 4x – 4a = 0となるとき、x = aになります。

したがって、関数y = 2x² – 4ax + 2a²の最小値を取る点はx = aです。

最小値の計算

次に、x = aを元の関数に代入して、最小値を計算します。

元の関数にx = aを代入すると。

y = 2a² – 4a² + 2a² = 0

したがって、この関数の最小値はy = 0となります。

まとめ

関数y = 2x² – 4ax + 2a²の最小値を求める方法は、まず関数を微分して、最小値を取る点を求め、その点を元の関数に代入して最小値を計算するという手順です。この場合、最小値はy = 0となります。微分を使うことで、最小値を求めることができ、放物線の最小値を効率よく計算する方法が理解できるようになります。