高校数学確率変数の分散の計算方法

高校数学の確率変数に関する質問について、今回はサイコロを2回投げたときに出た目を用いて、分散をどのように計算するかを解説します。

問題の確認

まず、サイコロを2回投げたときの1回目の出た目をX、2回目の出た目をYとします。このとき、X－Yの分散を求める問題です。選択肢として、以下の3つが与えられています。

分散とは、確率変数の値が平均からどれくらい離れているかを示す指標です。分散の計算式は以下のようになります。

V(X) = E(X²) − (E(X))²

まず、この問題でXとYはサイコロの目の値であり、サイコロの各目は1から6の整数です。サイコロの目の確率分布をもとに、XとYのそれぞれの分散を計算します。

XとYが独立しているため、X − Yの分散を求めるには、以下の式を使います。

V(X − Y) = V(X) + V(Y)

この式に基づき、選択肢②が正しいことがわかります。

XとYはサイコロの目という独立した確率変数なので、X − Yの分散は各々の分散の和になります。これは確率論における重要な性質の1つです。

この問題の答えは、分散の計算方法を理解していれば、選択肢②が正しいことがわかります。XとYの分散は独立した確率変数の和として求められるため、V(X − Y) = V(X) + V(Y)となります。