曲線と直線の共有点の個数が1となる条件を求める方法

この問題では、曲線x^2 – y^2 = 2と直線y = kx + 2の共有点の個数が1であるような実数kの範囲を求める問題です。このような問題を解くには、方程式を連立させ、条件を設定していく方法を使います。この記事では、この問題の解法を順を追って説明します。

問題の整理と式の準備

まず、与えられた曲線と直線を整理します。曲線の式はx^2 – y^2 = 2で、直線の式はy = kx + 2です。

直線の式におけるyを曲線の式に代入して、連立方程式を作成します。これにより、交点が何点であるかを求めます。

曲線の式x^2 – y^2 = 2に、直線の式y = kx + 2を代入します。すると、次のようになります。

x^2 – (kx + 2)^2 = 2

この式を展開し、整理します。まず、(kx + 2)^2を展開すると、k^2x^2 + 4kx + 4になります。

x^2 – (k^2x^2 + 4kx + 4) = 2

この式をさらに整理すると。

x^2 – k^2x^2 – 4kx – 4 = 2

両辺に2を移項すると。

x^2 – k^2x^2 – 4kx – 6 = 0

次に、解の個数が1になる条件を考えます。二次方程式の解の個数が1つであるためには、判別式が0である必要があります。判別式Δは次の式で求められます。

Δ = b^2 – 4ac

ここで、二次方程式をax^2 + bx + c = 0の形に整理すると、a = (1 – k^2)、b = -4k、c = -6です。

したがって、判別式は次のように計算されます。

Δ = (-4k)^2 – 4(1 – k^2)(-6)

Δ = 16k^2 + 24(1 – k^2)

Δ = 16k^2 + 24 – 24k^2

Δ = -8k^2 + 24

解の個数が1であるためには、Δ = 0である必要があります。したがって、次の式を解きます。

-8k^2 + 24 = 0

-8k^2 = -24

k^2 = 3

k = ±√3

したがって、共有点の個数が1であるような実数kの範囲は、k = ±√3 です。このように、連立方程式を解くことで、条件を満たすkの値を求めることができました。

このような問題では、式を整理し、判別式を使って解の個数を求める方法が重要です。今後、他の類似の問題にもこのアプローチを活用することができます。