郡数列の問題解説: 第n群の最初の数と50が含まれる群の求め方

郡数列に関する問題は、数列の構造を理解することが重要です。この問題では、自然数を順に並べて、特定のルールに従ってグループ分けされています。ここでは、郡数列の第n群の最初の数と、50が含まれる群を求める方法を解説します。

郡数列の構造

まず、郡数列を見てみましょう。最初に1個、次に2個、その次に4個、と続いています。具体的には、次のような形です。

1 | 2,3 | 4,5,6,7 | 8,9,10,11,12,13,14,15 | …

各群に含まれる数の個数は、2のn乗 – 1個となっています。これを基に、問題を解いていきます。

（1）第n群の最初の数を求める

第n群の最初の数を求めるには、各群に含まれる数の個数の累積を考えます。第n群の最初の数は、前の群の最後の数の次の数です。

第n群に含まれる数の個数は、2^n – 1個です。したがって、n番目の群の最初の数は、1から始まる累積和に基づいて計算できます。これを一般的に表現すると。

最初の数 = 1 + (2^1 – 1) + (2^2 – 1) + … + (2^(n-1) – 1)

（2）50は第何群の何番目の数か

次に、50が含まれる群を特定し、その群内で何番目の数であるかを求めます。まず、50が含まれる群を特定するためには、1から累積的に計算していきます。

累積和を求めると、50は第6群に含まれます。第6群には、2^6 – 1 = 63個の数が含まれており、50はその中の何番目かを求めます。第5群までの累積数は31なので、50は第6群で、50 – 31 = 19番目の数です。

まとめ

郡数列の問題では、各群に含まれる数の個数が指数的に増えていくため、順を追って計算することで、特定の数が含まれる群とその位置を特定することができます。第n群の最初の数を求めるためには、前の群の最初の数を基に累積和を求め、特定の数が含まれる群を見つけたら、さらにその中で位置を確認するという手順を踏みます。