数B：等比数列の和の公式とその使い分け方

等比数列の和を求める問題では、公式を使う方法と、項を展開して計算する方法があります。この2つの方法の使い分けについて理解することで、効率的に問題を解けるようになります。

1. 等比数列の和の公式

等比数列の和を求める際に最も基本的な方法は、和の公式を使用することです。一般的な公式は次の通りです。

S_n = a * (1 – r^n) / (1 – r) （r ≠ 1）

ここで、S_nは初項からn項までの和、aは初項、rは公比、nは項数です。この公式は、項数nまでの和を求める場合に便利です。

項を展開して和を求める方法もあります。この方法は、特に問題文において和が直接与えられている場合や、計算が簡単な場合に有効です。例えば、問題文で「4/5、1/5、1/5、…」というように項を具体的に与えられた場合、項を個別に足していく方法が使えます。

この場合、各項を展開し、足していくことが必要です。具体的には、与えられた数式をそれぞれ分解し、項ごとに計算を進めることで解決できます。

方法の使い分けは、問題の内容に依存します。和の公式を使うのは、項数が多く、計算が効率的に行える場合です。例えば、問題文に「初項が2、公比が3の等比数列が10項まであるとき」のような形で与えられた場合、この公式を使うことで、迅速に答えを出すことができます。

一方、項を展開して解く方法は、数式が簡単で、項が少ない場合に有効です。また、問題文が「4/5＋1/5＋1/5」などである場合、各項を足すだけで答えに辿り着けます。

例えば、問題文で「初項〜第3項の和が◻︎、第3項から第5項の和が△」と与えられた場合、まず和の公式を使って初項から第3項までの和を求め、その後に第3項から第5項までの和を求める方法が有効です。

公式を使う場合、まず初項と公比を求め、公式に代入することで速やかに解答を得ることができます。一方、項ごとの和を展開して計算する場合、各項をそれぞれ分解し、個別に足し合わせる必要があります。

等比数列の和を求める方法には、公式を使う方法と、項を展開して計算する方法の2種類があります。問題の内容に応じて、適切な方法を使い分けることが重要です。公式は特に項数が多い場合に有効で、項を展開して計算する方法は、数式がシンプルで項数が少ない場合に適しています。