大学受験の数学問題では、関数の最小値や最大値を求める問題がよく出題されます。特に、相加相乗平均を使って簡単に解ける場合もありますが、問題によっては少し工夫が必要です。この記事では、1979年の京大理系の問題を解くための手法を紹介し、友人が直面した問題への解決策を説明します。
問題の確認と関数の定義
まず、与えられた関数f(t)とg(t)を確認しましょう。これらの関数は以下の通りです。
f(t) = √t + 1/√t + √(t + 1/t + 1)
g(t) = √t + 1/√t – √(t + 1/t + 1)
t > 0という条件のもとで、f(t)の最小値が2 + √3、g(t)の最大値が2 – √3であることを示す必要があります。
相加相乗平均を用いた解法の基本
問題の解法において重要なのは、相加相乗平均（AM-GM不等式）を使うことです。相加相乗平均不等式は、数値の加算と乗算の関係を結びつける強力なツールです。まず、f(t)における項の間でAM-GM不等式を適用します。
f(t) = √t + 1/√tという形において、これにAM-GM不等式を適用すると、最小値を求めることができます。この場合、最小値はt = 1のときに達成され、そこからf(t)の最小値が2 + √3となることが分かります。
g(t)における相加相乗平均の適用
g(t)も同様に相加相乗平均を使って解析できます。しかし、g(t)の最大値を求める際に少し工夫が必要です。友人が「g(t) ≧ 2 – √3 になってしまう」と感じた原因は、相加相乗平均を適用する際に符号の取り扱いに注意が必要だからです。
具体的には、g(t)の項の符号が異なるため、最小値を求める手法をそのまま最大値に適用することはできません。g(t)の最大値は、t = 1のときに得られ、その結果、g(t)の最大値が2 – √3となることが分かります。
関数の最小値と最大値を示すための計算手順
f(t)とg(t)の最小値と最大値を示すためには、それぞれの関数の微分を用いて、極値を求める方法もあります。これにより、具体的なtの値を特定し、その値で関数の最小値および最大値がどのように得られるかを証明することができます。
まとめと解説
この問題のポイントは、相加相乗平均を適切に適用することと、符号の取り扱いに注意することです。f(t)とg(t)の最小値と最大値を求める際には、相加相乗平均不等式を使うことで簡単に解けますが、g(t)の場合には符号の違いに留意し、別のアプローチが必要であることを理解することが大切です。問題を解くためのアプローチをしっかりと理解し、計算手順を踏まえて解答を導きましょう。
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