関数 f(x) = -2x/π + 2 が与えられた区間 π < x < 2π において連続であることと、微分可能であることを証明する方法について解説します。これらの証明には、連続性と微分可能性の基本的な定義に基づいた手順を踏んでいきます。
1. 連続性の証明
関数が連続であるとは、関数の値がその点で極限と一致することを意味します。具体的には、関数 f(x) = -2x/π + 2 が π < x < 2π の範囲で連続であることを示すためには、次の条件を満たす必要があります。
- 関数 f(x) は区間 (π, 2π) 内で定義されている。
- f(x) の極限が区間内で一致する。
f(x) は一次関数であり、一次関数は定義域内で常に連続であるため、この関数は連続であると言えます。
2. 微分可能性の証明
次に、関数が微分可能であるかを調べます。微分可能性とは、関数がその点で導関数を持つことを意味します。関数 f(x) = -2x/π + 2 の微分を求めるために、f(x) の導関数を計算します。
f(x) = -2x/π + 2 の導関数は、次のように計算できます。
f'(x) = d/dx(-2x/π + 2) = -2/π
ここで、f'(x) は定数であり、どの点でも導関数が存在します。したがって、関数 f(x) は微分可能です。
3. まとめ
関数 f(x) = -2x/π + 2 は、π < x < 2π の範囲内で連続であり、また、微分可能であることが確認できました。連続性は一次関数の特性として自明であり、微分可能性はその導関数を計算することで確認できました。
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