大学数学の微分方程式問題について、与えられた式 y” + y’ – 6y = xe^x に対して、特解と一般解の求め方を解説します。特に、与えられた解法 y = (C0 + C1x)e^x を使って定数 C0 と C1 を求める方法と、微分方程式の一般解を求める方法に焦点を当てます。
問題の設定
与えられた微分方程式は、y” + y’ – 6y = xe^x です。ここで、y = (C0 + C1x)e^x が特解として与えられています。まず、特解における定数 C0 と C1 を求め、その後に一般解を求める方法について解説します。
特解の定数 C0, C1 の求め方
特解 y = (C0 + C1x)e^x において、まずはy’とy”を求めます。
y’ = (C1 + C0 + C1x)e^x
y” = (2C1 + C0 + C1x)e^x
これらを元の微分方程式 y” + y’ – 6y に代入し、C0 と C1 の値を求めます。代入した結果、次のような式になります。
(2C1 + C0 + C1x)e^x + (C1 + C0 + C1x)e^x – 6(C0 + C1x)e^x = xe^x
ここで、e^x は共通因子として消去できるので、残った項を整理します。
2C1 + C0 + C1x + C1 + C0 + C1x – 6C0 – 6C1x = x
整理すると。
2C1 + 2C0 – 6C0 + 2C1x = x
この式を x と定数項に分けて、それぞれの係数を比較します。
x の係数: 2C1 = 1 → C1 = 1/2
定数項: 2C1 + 2C0 – 6C0 = 0 → 2(1/2) + 2C0 – 6C0 = 0 → C0 = 1
したがって、特解の定数は C0 = 1, C1 = 1/2 です。
一般解の求め方
次に、微分方程式の一般解を求めます。まず、同次方程式 y” + y’ – 6y = 0 の解を求めます。
同次方程式の特性方程式は、r^2 + r – 6 = 0 です。これを解くと、r = 2 と r = -3 になります。したがって、同次方程式の一般解は。
y_h = C2e^(2x) + C3e^(-3x)
ここで、C2 と C3 は定数です。
したがって、元の微分方程式の一般解は、特解と同次解の和として次のように表されます。
y = (C0 + C1x)e^x + C2e^(2x) + C3e^(-3x)
まとめ
この問題では、まず特解を求めるために定数 C0 と C1 を導出しました。次に、同次方程式の解を求め、最終的に元の微分方程式の一般解を求めることができました。一般解は特解と同次解を足した形になります。これにより、微分方程式の解法の流れを理解することができました。
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