高校数学の問題において、二次方程式の解が虚数となる条件を求めることはよくあります。特に、解の間に特定の関係がある場合、それを利用して定数kの値や解の具体的な値を求める問題です。この記事では、x^2+kx-k+4=0の二つの解が虚数であり、β/αの二乗が実数となるようなkの値を求め、対応するαとβの値を導きます。
問題の整理と解法のアプローチ
与えられた二次方程式はx^2+kx-k+4=0です。まず、この方程式の解が虚数であるためには、判別式（D）が負である必要があります。判別式Dは、ax^2+bx+c=0の形の二次方程式に対して、D = b^2 – 4acです。
今回の方程式では、a=1, b=k, c=-k+4となるため、判別式は次のようになります。
D = k^2 – 4×1×(-k+4) = k^2 + 4k – 16
判別式が負であれば解は虚数となります。したがって、k^2 + 4k – 16 < 0を解くことが必要です。
判別式を解いてkの範囲を求める
k^2 + 4k – 16 < 0を解くために、まず方程式k^2 + 4k - 16 = 0を解きます。この二次方程式の解は、次のように求められます。
k = (-4 ± √(4^2 – 4×1×(-16))) / 2×1 = (-4 ± √(16 + 64)) / 2 = (-4 ± √80) / 2
√80は約8.944なので、kの解は。
k = (-4 + 8.944) / 2 ≈ 2.472, k = (-4 – 8.944) / 2 ≈ -6.472
したがって、kの範囲は-6.472 < k < 2.472となります。
β/αの二乗が実数となる条件
次に、問題の条件である「(β/α)^2が実数となるようなkの値」を考えます。二次方程式の解αとβは、解の公式を使って求めることができます。
α, β = (-k ± √(k^2 + 4k – 16)) / 2
ここで、β/αの二乗が実数となるための条件は、解の間に特定の関係が必要です。具体的には、β/αが実数であれば、αとβの虚数部分が同じ大きさであり、符号が逆である必要があります。これにより、(β/α)^2が実数となるため、kの値を調整することが求められます。
解α, βとその条件
kの値が-6.472 < k < 2.472であるとき、αとβの値はそれぞれ次のように求められます。
α = (-k + √(k^2 + 4k – 16)) / 2, β = (-k – √(k^2 + 4k – 16)) / 2
このようにして、kの範囲内でαとβを求め、その関係から(β/α)^2が実数となるkの値を特定できます。
まとめ
この問題を解くには、まず判別式を用いて解が虚数である条件を求め、その後、(β/α)^2が実数となるような条件を考慮しました。最終的に、kの範囲を-6.472 < k < 2.472として、αとβの値を求めることができました。これにより、虚数解を持つ二次方程式の解の関係を明確にし、問題を解決することができました。
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