空気抵抗を考慮した自由落下の速度と終端速度の求め方

この問題では、空気抵抗がある場合の自由落下の運動について考えます。空気抵抗Rが速度に比例する場合（R=kv）を想定し、ボールが落下する際の速度や終端速度を求める方法を解説します。

問題の設定と運動方程式

まず、ボールに働く力を整理します。自由落下の加速度は、重力による加速度gと、空気抵抗による加速度R/mによって決まります。空気抵抗Rは速度vに比例するため、R = kvという形になります。

運動方程式は、以下のように表されます。

m dv/dt = mg – kv

ここで、mはボールの質量、gは重力加速度、kは空気抵抗の比例定数、vは速度です。これを使って解を求めていきます。

運動方程式を解くために、まずvについての微分方程式を整理します。

m dv/dt = mg – kv

この方程式を整理すると。

dv/dt = g – (k/m) v

次に、これを解くために変数分離を行います。

dv / (g – (k/m) v) = dt

この方程式を積分することで、v(t)の関係式が求められます。積分を行うと。

v(t) = (mg/k) (1 – e^(-kt/m))

これが時間tにおける速度vです。

終端速度とは、空気抵抗と重力の力が釣り合い、加速度がゼロになる状態の速度です。したがって、v∞（終端速度）は、以下の条件を満たします。

mg = kv∞

ここからv∞を解くと。

v∞ = mg/k

これが、Rが速度vに比例する場合の終端速度です。

時間tが無限大に近づくと、v(t)は次第にv∞に近づきます。式v(t) = (mg/k) (1 – e^(-kt/m))のtが無限大に近づくと、e^(-kt/m)は0に近づくため、v(t)はv∞ = mg/kに収束します。

これにより、長時間経過した後の速度（終端速度）は、v∞ = mg/kであることがわかります。

この問題を通じて、空気抵抗が速度に比例する場合の自由落下の速度と終端速度の求め方を学びました。時間tにおける速度vは、運動方程式を解くことで得られ、終端速度v∞はmg/kという式で求めることができます。空気抵抗の影響を考慮した運動の理解は、物理学において非常に重要なテーマです。