複素数平面上で点の回転を求める方法：点Cの複素数表現を解説

数学の問題において、複素数平面上で点を回転させる問題はよく出題されます。今回は、点A（z = 1 + i）と点B（z = -1 + i）の位置を使い、点Aを中心に点Bを反時計回りに90度回転させた点Cの複素数表現を求める問題を取り上げます。

1. 問題の設定

複素数平面上で、点Aの位置はz = 1 + i、点Bの位置はz = -1 + iです。点Cは、点Aを中心にして点Bを反時計回りに90度回転させた位置になります。このとき、点Cの複素数表現を求めます。

複素数平面での回転は、回転行列を使って行います。反時計回りに90度回転させる場合、複素数の回転は次のように計算できます。

回転行列を使って、点Bの複素数z = -1 + iを点Aを基準に90度回転させると、zにiを掛けることで新しい複素数が求められます。つまり、点Bの位置をzBとして、zC = i * (zB – zA) + zA となります。

点Aの位置はzA = 1 + i、点Bの位置はzB = -1 + iです。まず、zB – zAを計算します。

zB – zA = (-1 + i) – (1 + i) = -2 + 0i

次に、この差にiを掛けます。

i * (-2 + 0i) = -2i

最後に、この結果に点Aの位置zAを加えます。

zC = -2i + (1 + i) = 1 – i

したがって、点Cの複素数表現はzC = 1 – i となります。

今回の問題では、複素数平面上で点Aを中心に点Bを反時計回りに90度回転させた点Cの位置を求めました。回転操作は、複素数に対してiを掛けることで実現でき、最終的に点Cの位置はz = 1 – iであることがわかりました。