y = x²cos(2x) の n 次導関数の求め方：積の微分法とレイブニッツの定理を用いた一般式の導出

関数 y = x²cos(2x) の n 次導関数を求めるには、積の微分法とレイブニッツの定理を適用することで、一般的な式を導出できます。この記事では、具体的な手順とともに、n 次導関数の一般形を明らかにします。

1. 関数の構造の確認

関数 y = x²cos(2x) は、x² と cos(2x) の積として表されます。積の微分法により、この関数の導関数を求めることができます。

積の微分法は、(u・v)’ = u’・v + u・v’ という公式に基づいています。ここで、u = x²、v = cos(2x) とおくと、それぞれの導関数は以下のようになります。

これらを積の微分法に代入すると、1 次導関数は次のようになります。

y' = 2x・cos(2x) - 2x²・sin(2x)

このように、1 次導関数が得られます。

n 次導関数を求めるためには、レイブニッツの定理を適用します。レイブニッツの定理は、積の n 次導関数を次のように表す公式です。

(u・v)ⁿ = Σ(k=0 to n) C(n, k) uⁿ⁻ᵏ v^(k)

ここで、C(n, k) は二項係数です。u = x²、v = cos(2x) に対して、この公式を適用すると、n 次導関数は次のように表されます。

yⁿ = Σ(k=0 to n) C(n, k) (2x)^(2-n+k) (-2)^k sin(2x)

この式により、任意の n に対する導関数を求めることができます。

関数 y = x²cos(2x) の n 次導関数は、積の微分法とレイブニッツの定理を適用することで、一般的な式を導出することができます。これにより、任意の n に対する導関数を計算することが可能となります。