三角形の辺の長さや角の二等分線、中点を組み合わせた問題は、図形の性質を正しく見抜くことが解答のポイントになります。特に、角の二等分線の交点と中点を結んだ直線が作る図形では、相似や比の考え方を利用すると複雑な計算を避けることができます。
この記事では、AB=10cm、BC=8cm、CA=9cmの三角形ABCにおいて、角Bと角Cの二等分線の交点D、さらにDBとDCの中点を利用して作られる三角形AEFの周の長さを求める方法を、順番にわかりやすく解説します。
問題の条件を整理する
まず、与えられている条件を整理します。三角形ABCについて、辺の長さは以下の通りです。
AB=10cm、BC=8cm、CA=9cm
また、Dは角Bの二等分線と角Cの二等分線の交点です。つまり、Dは三角形ABCの内心になります。
MはDBの中点、NはDCの中点です。そして、直線MNと辺AB、ACとの交点をそれぞれE、Fとします。
求めるのは三角形AEFの周の長さなので、AE、AF、EFの3つの長さを求める必要があります。
角の二等分線の交点Dの性質を利用する
Dは角Bと角Cの二等分線の交点なので、三角形BCDについて考えると、Dはその内側にある点になります。
ここで重要なのは、MとNがそれぞれDB、DCの中点であることです。
三角形DBCを見ると、MはDBの中点、NはDCの中点なので、中点連結定理が使えます。
中点連結定理からEFの長さを求める
三角形DBCにおいて、MとNを結ぶ線分MNは2辺の中点を結んでいます。そのため、中点連結定理より、MNはBCと平行で、長さはBCの半分になります。
したがって、MN=BC÷2=8÷2=4cmです。
また、EとFは直線MN上にあるため、EFはMNと同じ線分になります。
よって、EF=4cmとなります。
三角形AEFと三角形ABCの関係を考える
EFはBCと平行なので、三角形AEFと三角形ABCは相似になります。
このとき、相似比を考える必要があります。EFはBCの半分なので、三角形AEFは三角形ABCを2分の1に縮小した図形になります。
つまり、AEとAFもそれぞれABとACの半分になります。
AE=AB÷2=10÷2=5cm
AF=AC÷2=9÷2=4.5cm
三角形AEFの周の長さを計算する
ここまでで三角形AEFを構成する3辺の長さが分かりました。
AE=5cm、AF=4.5cm、EF=4cmです。
したがって、三角形AEFの周の長さは、
5+4.5+4=13.5cm
となります。
答えは13.5cmです。
このタイプの図形問題を解くポイント
今回の問題では、角の二等分線の交点Dそのものの位置を細かく求める必要はありませんでした。
一見すると内心や角の二等分線の性質を使う難しい問題に見えますが、実際には「中点を結んだ線分」という条件から中点連結定理を見つけることが最も重要です。
例えば、三角形の2辺上に中点があり、その2点を結んだ線が引かれている場合は、まず「元の三角形の半分の縮図になっているのではないか」と考えると解法が見つかりやすくなります。
まとめ
AB=10cm、BC=8cm、CA=9cmの三角形で、角Bと角Cの二等分線の交点Dを利用した問題では、Dの位置を求める必要はありません。
DBとDCの中点M、Nを利用すると、中点連結定理によってEFはBCの半分となり、三角形AEFは三角形ABCの相似な縮小図形であることが分かります。
その結果、AE=5cm、AF=4.5cm、EF=4cmとなり、三角形AEFの周の長さは13.5cmになります。
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