同相写像の始域を制限した写像が同相写像であることの証明

同相写像（homeomorphism）は位相空間における重要な概念であり、空間が「同じ」形状を持つことを示します。質問では、同相写像の始域を制限した写像が同相写像であるかどうかを示すことが求められています。本記事では、この問題についての理論的な背景と証明方法を解説します。

1. 同相写像とは何か

同相写像とは、2つの位相空間の間で、連続かつ逆も連続な写像のことを指します。これは、空間が形状的に等しい（すなわち位相的に同型である）ことを示すための条件です。具体的には、空間の位相を保ったまま、点を対応させることができる写像です。

問題で述べられている「始域を制限した写像」とは、同相写像の定義に基づき、元々の空間の部分集合に対してのみその写像を適用することを意味します。例えば、空間AとBが同相写像であり、Aの部分集合A’があるとき、A’からBの部分集合B’への写像が同相写像であるかを問われています。

この制限された写像が同相写像であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

同相写像の始域を制限した場合、元の写像が連続であり、逆写像も連続であれば、その制限された写像も同様に連続であり、逆写像も連続であることが示されます。具体的に言えば、部分集合A’が開集合であれば、その像も開集合となり、連続性が保たれます。

同相写像の始域を制限した場合、その写像が連続であり、逆写像も連続であれば、制限された写像は同相写像となります。したがって、問題における制限された写像が同相写像であることが示されます。

これにより、同相写像の制限された写像が同相写像であることが証明されます。