座標平面上の三角形pqrの重心の軌跡とa, bが虚数でないことの証明

座標平面上で与えられた点p(1/2, 1/4)と放物線y=x²上の点q(a, a*2)、r(b, b*2)を用いて、三角形pqrの重心gの軌跡を求める問題を解説します。さらに、aやbが虚数でないことを示す方法についても触れます。

1. 問題の整理

問題では、三角形pqrの重心gを求めることが求められています。点pはp(1/2, 1/4)に固定されていますが、点qとrは放物線y=x²上の点で、qは(a, a*2)、rは(b, b*2)です。ここで、qrを底辺とする二等辺三角形になるように点qとrが動く条件が課題です。

三角形の重心gは、三角形の3つの頂点の座標の平均値です。したがって、gの座標は以下のように計算できます。

三角形pqrの重心gの座標は、次のように求められます。

g = ((x_p + x_q + x_r) / 3, (y_p + y_q + y_r) / 3)

ここで、pの座標は(1/2, 1/4)、qの座標は(a, a*2)、rの座標は(b, b*2)です。これらを重心の公式に代入して計算します。

点qとrが与えられた条件で二等辺三角形を形成するには、qrが底辺となるようにpqrが配置される必要があります。この配置を満たすために、点qとrの座標が実数である必要があります。もしaやbが虚数であるなら、三角形pqrが成り立たないため、aやbが虚数でないことを証明する必要があります。

実際、aとbが虚数でない場合、点qとrの座標は実数となり、三角形pqrが平面上に存在することが保証されます。

三角形pqrの重心gの軌跡を求めるためには、重心の公式を使用してgの座標を計算し、次に点qとrが虚数でない場合にのみ問題が成立することを確認しました。したがって、aやbが虚数でないことが前提となります。