三角比の0°・90°・180°・360°の考え方を図で理解する方法｜sin・cos・tanの値の理由を解説

三角比を学ぶと、0°や90°、180°、360°のような直角三角形では作れない角度が登場します。通常の三角比では30°や45°などの角度を扱うため、なぜ90°を超えた角度でもsinやcosが決まるのか疑問に感じる人も多いでしょう。

これらの角度は、三角比を直角三角形だけではなく、座標平面上の円を使って考えることで理解できます。この記事では、0°・90°・180°・360°でのsin、cos、tanの値がなぜそのようになるのかを分かりやすく解説します。

三角比は直角三角形から単位円へ広げて考える

高校数学で最初に学ぶ三角比は、直角三角形を利用して定義されます。例えば、sinθは「斜辺に対する高さの割合」、cosθは「斜辺に対する底辺の割合」、tanθは「底辺に対する高さの割合」として考えます。

しかし、90°や180°のような角度では直角三角形を作ることができません。そのため、三角比をより広い範囲で使うために、単位円という考え方を利用します。

単位円とは、中心が原点で半径が1の円のことです。この円上の点の座標を使うことで、どんな角度でもsinやcosを表せるようになります。

0°の三角比は円の右端から考える

角度0°では、円の中心から右方向へ線を伸ばした位置を考えます。このとき、円周上の点の座標は(1,0)になります。

単位円では、点のx座標がcosθ、y座標がsinθを表します。そのため、0°ではcos0°=1、sin0°=0となります。

tanθはsinθ÷cosθで求めるため、tan0°は0÷1=0となります。

90°では高さが最大になる

90°では、円の一番上の点を見ることになります。この点の座標は(0,1)です。

x座標がcosθ、y座標がsinθなので、cos90°=0、sin90°=1になります。

つまり90°では横方向の長さがなくなり、縦方向の長さが最大になると考えると理解しやすくなります。

tan90°が存在しない理由は、tanθ=sinθ÷cosθなので、1÷0という計算になってしまうためです。数学では0で割ることはできません。

180°では円の左端になる

180°では、0°の位置から半円分回転した場所を考えます。このとき円周上の点は(-1,0)になります。

したがってcos180°はx座標なので-1、sin180°はy座標なので0になります。

tan180°は0÷(-1)なので0です。180°では横方向が反対向きになるため、cosの符号がマイナスになることがポイントです。

360°では一周して元の位置に戻る

360°は円を一周した状態です。そのため、0°と同じ右端の点に戻ります。座標は(1,0)です。

したがってsin360°=0、cos360°=1、tan360°=0になります。

角度が360°増えても円上の位置は同じになるため、三角比の値も周期的に繰り返されます。

0°から360°までの三角比を覚えるコツ

0°、90°、180°、360°の値を覚えるときは、単純な暗記よりも円の動きをイメージすることが重要です。

sinは縦方向の位置、cosは横方向の位置と考えると、角度が変化したときの値の変化が理解できます。

例えば、0°では右端なので横が最大、90°では上なので縦が最大、180°では左なので横がマイナス、360°では元に戻るという流れになります。

まとめ

三角比の0°、90°、180°、360°は、直角三角形だけで考えると分かりにくいですが、単位円を使えば自然に理解できます。

sinは円上の点の縦座標、cosは横座標を表しており、角度ごとの位置を考えることで値の理由が分かります。

三角比は公式を暗記するだけではなく、円の動きをイメージすることで応用問題にも対応できるようになります。