ε-δ を使わずに関数の一様連続を定義する方法

一様連続という概念は、解析学において重要な役割を果たしますが、その定義を通常はε-δを用いて行います。この記事では、ε-δを使わずに一様連続を定義する方法について解説します。関数が一様連続であることを理解するためには、その直感的な意味を掴むことが大切です。

1. 一様連続とは？

一様連続性の定義を直感的に説明すると、関数のグラフのどこでも、入力値の変化に対して出力値がどれだけ変動するかが、全体で同じ範囲内に収まるという特性です。言い換えれば、関数の「挙動」が、どんな点でも似たような動きになるということです。

通常、関数 f(x) が区間 [a, b] 上で一様連続であると言うとき、任意の ε > 0 に対して、δ > 0 が存在して、|x – y| < δ ならば、|f(x) - f(y)| < ε となる条件を満たします。

ε-δ を使わずに一様連続を定義するためには、代わりに関数の「均等な変化」を求める方法を用います。具体的には、次のように定義できます。

この定義では、関数がどの点でも均等に変動しない場合には、一様連続でないとみなすことができます。ε-δを用いる定義と同じ結果を得ることができます。

直感的に言えば、関数が一様連続である場合、入力値の変化が小さくなると、関数の出力も一定の範囲内で小さくなることを意味します。例えば、直線関数や連続関数は一般に一様連続ですが、階段関数や不連続関数は一様連続ではありません。

一様連続性の直感的理解を深めるために、グラフを描いてみることが有効です。連続した関数では、入力値が少しだけ変化しても、出力値が大きく変わらないという特徴が観察できます。

一様連続性をε-δを使わずに定義することは可能であり、代わりに関数の変化の均等性を用いる方法を採用します。この方法では、関数の変化が全ての点で均等であることを求めることで、一様連続性を示すことができます。

この直感的な定義を使って、関数の一様連続性を理解することができますが、厳密な証明を行う際には、ε-δ を使用する方法が不可欠です。