大学数学の導関数を求める方法：具体例で解説

大学数学の問題で、次の関数の導関数を求める問題について解説します。以下の2つの関数に対して、それぞれの導関数をどのように求めるかを具体的に説明します。

問題1：y＝1/(arcsin(x)) の導関数

まず、関数y＝1/(arcsin(x))の導関数を求めます。この場合、合成関数の微分法を使います。具体的には、y = (arcsin(x))^(-1)という形に解釈できます。ここでの微分は連鎖律を使用する必要があります。

導関数を求める手順は以下の通りです。

まず、f(x) = arcsin(x)の導関数を求めます。
f'(x) = 1 / √(1 – x²) です。
次に、y = f(x)^(-1) という形から微分を行います。
y’ = -1 * (f(x))^(-2) * f'(x)となり、最終的にy’ = -1 / ( (arcsin(x))^2 * √(1 – x²) ) です。

次に、y＝√(arctan(x))の導関数を求めます。この場合も、合成関数の微分法を使います。具体的には、y = (arctan(x))^(1/2)という形です。

導関数を求める手順は以下の通りです。

まず、f(x) = arctan(x)の導関数を求めます。
f'(x) = 1 / (1 + x²) です。
次に、y = f(x)^(1/2) という形から微分を行います。
y’ = 1/2 * f(x)^(-1/2) * f'(x)となり、最終的にy’ = 1 / (2 * √(arctan(x)) * (1 + x²)) です。