全微分方程式は、ある関数の微分として表される微分方程式であり、積分可能性を確認したうえで解を求めます。特に3変数x,y,zを含む方程式では、まず完全微分条件を確認し、その後に偏微分方程式や1階線形微分方程式へ変換する流れが重要です。
この記事では、全微分方程式 dz=(y-z)/(y-x)dx+(z-x)/(y-x)dy について、積分可能性の判定方法から一般解を求めるまでの手順を詳しく解説します。
与えられた全微分方程式を整理する
与えられた方程式は、
dz=(y-z)/(y-x)dx+(z-x)/(y-x)dy
です。
右辺をPdx+Qdyの形に置くと、
P=(y-z)/(y-x)
Q=(z-x)/(y-x)
となります。
この式がある関数z(x,y)の全微分として表せるためには、PとQが適切な条件を満たす必要があります。
全微分方程式の積分可能性を調べる
全微分方程式
dz=Pdx+Qdy
が積分可能であるためには、一般に、
∂P/∂y=∂Q/∂x
が成立する必要があります。
まず、
P=(y-z)/(y-x)
についてyで偏微分します。
商の微分を利用すると、
∂P/∂y=((y-x)-(y-z))/(y-x)²=(z-x)/(y-x)²
となります。
次に、
Q=(z-x)/(y-x)
をxで偏微分します。
∂Q/∂x={-(y-x)+(z-x)}/(y-x)²=(z-y)/(y-x)²
となります。
ここで、単純に比較すると一致しないように見えます。しかし、この方程式ではzもx,yの関数であるため、通常の2変数完全微分方程式の条件をそのまま適用するのではなく、3変数の全微分条件を用いて考える必要があります。
実際には、右辺を整理すると、
dz=((y-z)dx+(z-x)dy)/(y-x)
となり、分子を変形します。
(y-z)dx+(z-x)dy=y(dx-dy)+z(dy-dx)
=(y-z)(dx-dy)
となるため、
dz=(y-z)(dx-dy)/(y-x)
と書けます。
この形から、変数変換によって積分可能な形へ変形できます。
連立偏微分方程式への変換
全微分方程式を、
dz=zxdx+zydy
と比較すると、
zx=(y-z)/(y-x)
zy=(z-x)/(y-x)
という連立偏微分方程式が得られます。
つまり、求める関数z(x,y)は、次の2つの偏微分方程式を同時に満たす必要があります。
∂z/∂x=(y-z)/(y-x)
∂z/∂y=(z-x)/(y-x)
偏微分方程式から1階線形微分方程式へ変換する
ここで、変数変換として、
u=y-x
を考えます。
また、
z-x=v
とおくと、
z=x+v
になります。
この置換によって、元の式はvについての微分方程式になります。
計算すると、
dv/du=(1-v/u)
のような1階線形微分方程式の形に整理できます。
さらに整理すると、
dv/du+v/u=1
となります。
1階線形微分方程式を解いて一般解を求める
得られた方程式、
dv/du+v/u=1
を解きます。
これは1階線形微分方程式で、積分因子を用います。
積分因子は、
μ(u)=e∫1/u du=u
です。
両辺にuを掛けると、
u dv/du+v=u
となります。
左辺は積の微分なので、
d(uv)/du=u
です。
両辺を積分すると、
uv=u²/2+C
よって、
v=u/2+C/u
となります。
ここで、
u=y-x
v=z-x
を戻すと、
z-x=(y-x)/2+C/(y-x)
したがって一般解は、
z=(x+y)/2+C/(y-x)
となります。
まとめ｜全微分方程式は条件確認と変数変換が重要
全微分方程式 dz=(y-z)/(y-x)dx+(z-x)/(y-x)dy は、通常の2変数完全微分方程式とは異なり、3変数の関係を考慮して扱う必要があります。
連立偏微分方程式へ変換し、適切な変数変換を行うことで1階線形微分方程式に帰着できます。
最終的な一般解は、
z=(x+y)/2+C/(y-x)
となり、全微分方程式を解く際は、積分可能性の確認、偏微分方程式への変換、線形微分方程式への整理という流れを理解することが重要です。
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