x^4+4を複素数の範囲で因数分解すると、(x+1+i)(x-1-i)(x+1-i)(x-1+i)という形になります。しかし、なぜこのような複素数を含む因数が出てくるのか、途中の計算が分かりにくいと感じる人も多いでしょう。
この記事では、x^4+4をどのように変形すると複素数の因数分解につながるのかを、途中式を省略せずに解説します。
x^4+4をまず実数範囲で因数分解する
複素数の因数分解を考える前に、まず実数範囲で形を整理します。
x^4+4は、そのままでは因数分解しにくいですが、平方の形を作ることで変形できます。
x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2
ここで、前半部分を平方として見ると、
x^4+4x^2+4=(x^2+2)^2
なので、
x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2
となります。
平方差の公式を使って分解する
平方差の公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)を利用すると、
x^4+4=(x^2+2+2x)(x^2+2-2x)
つまり、
x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)
となります。
ここまでは実数範囲での因数分解です。次に、それぞれの二次式を複素数の範囲でさらに分解します。
二次式x^2+2x+2を複素数で分解する
まず、
x^2+2x+2
を考えます。
二次方程式として解の公式を使うと、
x=(-2±√(4-8))/2
となります。
ここで判別式は、
4-8=-4
なので、
√(-4)=2i
です。
したがって、
x=(-2±2i)/2=-1±i
となります。
つまり、解はx=-1+i、x=-1-iです。
解がα、βの場合、二次式は(x-α)(x-β)と書けるので、
x^2+2x+2=(x+1-i)(x+1+i)
となります。
二次式x^2-2x+2を複素数で分解する
次に、
x^2-2x+2
を分解します。
解の公式を使うと、
x=(2±√(4-8))/2
となります。
先ほどと同じように、
√(-4)=2i
なので、
x=(2±2i)/2=1±i
となります。
したがって、
x^2-2x+2=(x-1-i)(x-1+i)
となります。
4つの因数をまとめる
ここまでの結果を合わせると、
x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)
であり、それぞれを複素数まで分解すると、
x^4+4=(x+1-i)(x+1+i)(x-1-i)(x-1+i)
となります。
因数の順番は入れ替えても同じなので、
(x+1+i)(x-1-i)(x+1-i)(x-1+i)
という形でも正しい答えになります。
別の考え方：複素数の解を求める方法
複素数の範囲で因数分解する場合、方程式x^4+4=0の解を求める方法もあります。
x^4=-4
となり、-4を複素数で表すと、
-4=4(cosπ+i sinπ)
です。
4乗根を考えることで4つの複素数の解が得られ、それらを使って因数を作ることもできます。
ただし、高校数学の範囲では、今回紹介した「平方差を利用して二次式に分解し、それぞれを解の公式で分解する方法」が最も計算しやすい方法です。
まとめ
x^4+4を複素数の範囲で因数分解する流れは、まず平方差を利用して、
x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)
と実数範囲で分解することから始まります。
その後、それぞれの二次式の解を求めると、
x^2+2x+2=(x+1-i)(x+1+i)
x^2-2x+2=(x-1-i)(x-1+i)
となり、最終的に4つの一次式に分解できます。
複素数の因数分解では、実数範囲で分解した後に二次式の解を求めるという手順を覚えておくと、同じような問題にも対応できます。
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