不定積分の答えでlog|A|+Cは減点される？絶対値を外す条件と正しい書き方を解説

不定積分を計算していると、答えにlog（対数）が登場することがあります。その際に「log|A|+C」と書くべきなのか、「log A+C」と絶対値を外してよいのか迷う人は多くいます。

特に、積分結果の中身Aが正であることが分かっている場合、絶対値を残したまま書くことが間違いなのか、答案で減点される可能性があるのかは気になるポイントです。この記事では、logの絶対値の意味と答案での適切な書き方について解説します。

不定積分でlog|A|と書く理由

不定積分では、代表的な公式として次の形があります。

∫1/x dx=log|x|+C

このように絶対値を付ける理由は、xが正の場合だけでなく負の場合も考える必要があるためです。

例えば、xが負の値を取る場合、log xは実数として定義できません。しかし、|x|であればxが負でも正の値になるため、log|x|は意味を持ちます。

つまり、log|A|という表記は「Aの符号が決まっていない場合でも成立する一般的な形」と考えることができます。

もし問題の条件などからA>0であることが明らかな場合、絶対値は外すことができます。

例えば、x>0という条件がある場合、

log|x|=log x

となるため、積分結果をlog x+Cと書いて問題ありません。

これは数学的に同じ意味になるため、絶対値を外すこと自体は間違いではありません。

A>0であることが分かっている状況でlog|A|と書いても、数学的には誤りではありません。

なぜなら、Aが正ならば|A|=Aなので、

log|A|+C=log A+C

が成立するからです。

したがって、多くの場合は減点対象にはなりません。むしろlog|A|はより一般的な形であり、内容として正しい表現です。

ただし、学校や試験の採点基準によっては「条件を利用して簡単な形に整理すること」を求められる場合があります。その場合でも、通常は計算過程や答えの意味が正しければ大きな減点になる可能性は低いです。

試験や提出物では、問題文の条件に合わせて書くことがおすすめです。

例えば、問題文で「x>0」と明示されている場合は、

∫1/x dx=log x+C

と書くと、条件を正しく利用していることが伝わります。

一方で、条件がなく一般的な不定積分を求める場合は、

∫1/x dx=log|x|+C

のように絶対値を付けるのが正しい書き方です。

不定積分では最後に積分定数Cを付けます。このCの存在によって、いくつかの表現が同じ意味になる場合があります。

例えば、log|x|とlog xはxの範囲によって扱いが変わりますが、定義される範囲が同じであれば積分結果として同じ働きをします。

ただし、絶対値を外すには必ず「中身が正である」という条件が必要です。条件なしでlog Aと書いてしまうと、Aが負の場合を含められなくなります。

よくある間違いは、「logの答えには必ず絶対値を付ける」と覚えてしまうこと、または逆に「絶対値は邪魔だからいつでも外してよい」と考えてしまうことです。

覚え方としては、次のように整理すると分かりやすくなります。

重要なのは、絶対値は単なる飾りではなく、対数が定義できる範囲を広げるために付けているという点です。

不定積分でA>0と分かっている場合、log|A|と書いても数学的には正しいため、通常は減点されるものではありません。

ただし、問題の条件を利用して整理するという意味では、Aが正であることが明らかな場合はlog A+Cと書く方が自然なこともあります。

基本的には「符号が分からないなら絶対値を付ける」「正だと分かるなら外してよい」と覚えておけば、不定積分のlogの扱いで迷うことは少なくなります。