放物線の平行移動の問題では、平方完成したあとにx方向とy方向の移動をどのように反映するかが重要になります。特に「x軸に2、y軸に−1移動する」という表現は、式の中でどの数字を変化させればよいのか迷いやすいポイントです。この記事では、放物線の移動の考え方と、y=x²+6x+10を移動させる場合の正しい手順をわかりやすく解説します。
まず放物線を頂点の形に変形する
放物線の移動を考えるときは、まず平方完成して頂点の位置を分かりやすくします。
与えられた式は、y=x²+6x+10です。平方完成すると、
y=(x²+6x+9)+1
y=(x+3)²+1
となります。この形から、頂点は(-3,1)であることが分かります。
つまり、この放物線は頂点が(-3,1)にある上に開いた放物線です。移動問題では、この頂点がどこへ移動するかを考えると理解しやすくなります。
放物線をx軸方向に移動するときの考え方
x軸方向の移動は、横方向への移動です。ここで注意したいのは、式の中のxは移動方向と逆の符号になるということです。
例えば、グラフを右に2移動するときは、式のxを「x−2」に置き換えます。これは、元のグラフでxの値が2小さい場所が移動後の位置になるためです。
今回の問題では「x軸に2だけ移動」とありますが、この表現は通常「x軸方向に2移動」という意味で、方向が省略されています。右に2移動する場合はx−2、左に2移動する場合はx+2になります。
放物線をy軸方向に移動するときの考え方
y軸方向の移動は、式の最後の定数部分を変化させます。
上に1移動するなら全体に+1、下に1移動するなら全体から1を引きます。
今回のようにy軸方向に−1移動する場合は、グラフ全体が下へ1移動するので、式の最後の部分から1を引きます。
実際に放物線を移動させてみる
元の放物線は、
y=(x+3)²+1
でした。ここから右に2、下に1移動すると考える場合、xはx−2に置き換え、最後の定数は−1します。
したがって、
y=((x−2)+3)²+1−1
となり、整理すると、
y=(x+1)²
になります。
質問にある計算では、y=(x+3−2)²+1−1としているため、結果として同じ式になっています。ただし、x方向の移動は「右へ2なのか左へ2なのか」を必ず確認する必要があります。
移動問題で間違えやすいポイント
平行移動では、x方向の移動だけ符号が逆になることが最大の注意点です。
| 移動 | 式の変化 |
|---|---|
| 右にa移動 | xをx−aに置換 |
| 左にa移動 | xをx+aに置換 |
| 上にb移動 | 最後に+b |
| 下にb移動 | 最後に−b |
例えばy=x²のグラフを右に3移動すると、頂点は(0,0)から(3,0)になります。このとき式はy=(x−3)²になります。
見た目では右へ動かしているのに式では引き算になるため混乱しやすいですが、頂点の位置を確認すると理由が分かります。
まとめ｜放物線の移動は頂点の移動で考えると分かりやすい
放物線の平行移動では、まず平方完成して頂点を確認し、その頂点がどこへ移動するかを考えると間違いが少なくなります。
今回のy=x²+6x+10は、平方完成するとy=(x+3)²+1となり、右へ2、下へ1移動するとy=(x+1)²になります。
x方向の移動では符号が逆になること、y方向の移動ではそのまま上下に変化することを覚えておけば、同じ形式の問題でも迷わず解けるようになります。
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