8個のりんごを4袋に分ける方法が11C4にならない理由｜重複組合せの考え方を解説

「8個のりんごをA・B・C・Dの4つの袋に分ける」という問題は、数Aの組合せでよく登場する代表的な問題です。一見すると「11個の場所から4つを選ぶから11C4ではないか」と考えてしまいますが、この問題では考え方が少し異なります。

この記事では、なぜ答えが11C4ではなく11C8になるのか、また重複組合せの考え方を使って分かりやすく解説します。

まず問題の条件を整理する

問題は「8個のりんごをA・B・C・Dの4つの袋に分ける」というものです。

重要なのは、りんごは同じ種類のものとして扱うという点です。例えば、りんご1個目、2個目、3個目のように区別するわけではありません。

また、「1個も入れない袋があってよい」とあるため、袋の中身が0個でも構いません。つまり、8個を4つのグループに分ける問題になります。

11C4という考え方は、区切りを入れる方法として考えたものです。

8個のりんごを並べるとき、例えば次のように考えます。

○○○○○○○○

この8個の間には7か所の隙間があります。さらに、袋が4つなので3つの仕切りを入れる必要があります。

すると、全部で「8個のりんご＋3個の仕切り」で11個の場所ができ、その中から仕切りの場所を3つ選ぶため、11C3になります。

つまり、正しくは11C3であり、これは組合せの性質から11C8と同じ値になります。

11C4と考える場合は、「4つのものを選ぶ」という発想になります。しかし、この問題で選んでいるのは袋ではなく、袋を分けるための仕切りです。

袋はA・B・C・Dの4つと決まっています。そのため、袋を選ぶ必要はありません。

例えば、4つの袋を作るには3つの仕切りが必要です。

りんご8個を4袋に分ける場合、
○○｜○○○｜○｜○○○
のように3つの仕切りで4つの区間を作ります。

したがって選ぶ対象は4個ではなく3個の仕切りであり、11C3になります。

このような問題は「重複組合せ」という考え方で解くことができます。

n個の同じものをr個の箱に分ける場合、区切りを使うと考えやすくなります。

今回の場合は、8個のりんごを4袋に分けるので、りんご8個と仕切り3個を合わせた11個の並びを考えます。

その中から仕切り3個の位置を選ぶため、

11C3＝11C8＝165

となります。

例えば、りんごを「A袋に何個、B袋に何個、C袋に何個、D袋に何個入れるか」と考えると、

A袋：2個
B袋：3個
C袋：1個
D袋：2個

のような分け方になります。

これを仕切りで表すと、

○○｜○○○｜○｜○○

となります。この仕切りの位置の選び方がすべての分け方を表しています。

8個のりんごを4袋に分ける問題では、袋そのものを選ぶわけではありません。袋は最初からA・B・C・Dと決まっています。

考えるべきなのは、8個のりんごを4つのグループに分けるための3つの仕切りの位置です。

そのため、計算は11C3となり、組合せの性質から11C8とも表せます。

「何を選んでいるのか」を正しく判断することが、組合せ問題を解く上で最も重要なポイントです。