行列の基本的な演算において、行列を基本行列の積で表す方法は重要な技術です。ここでは、行列Aを基本行列の積で表す方法について、詳細な手順を解説します。
問題の整理
まず、行列Aは次のように与えられています。
A = (1 -2 3)
(2 -4 9)
(0 1 -2)
この行列を基本行列の積として表現する方法を考えます。
基本行列とは？
基本行列は、行列に対する行基本変形を表すために使われる行列です。行基本変形は、行列の行の位置交換、行の定数倍、行の加減を行う操作です。これらの変形を行列で表すことによって、与えられた行列を簡単な形に変形することができます。
行列Aを基本行列の積で表す手順
1. 行列Aに対して行基本変形を適用していきます。まず、行列の左上にある「1」を作るために、2行目を適切に変形します。
2. 次に、左上が1となった状態で、他の行の要素をゼロにするために追加の行基本変形を行います。最終的に行列を上三角行列に変形します。
3. 行列Aを上三角行列に変形する過程で、行基本変形に対応する基本行列を掛け合わせていきます。これらの基本行列を掛け合わせることで、行列Aを基本行列の積で表現することができます。
実際の計算例
例えば、まずAの行列に行基本変形を適用していきます。次に、得られた基本行列を掛け合わせていく過程を示します。具体的には、次のような計算が行われます。
まず、行列Aを以下の基本行列で変形します。
R1: 1行目をそのまま維持
R2: 2行目を適切に変形（例えば、行の加減を使ってゼロにする）
R3: 3行目の要素をゼロにする
このように行基本変形を繰り返すことで、最終的に基本行列の積を得ることができます。
まとめ
行列Aを基本行列の積で表す方法は、行基本変形を適用し、それぞれの操作に対応する基本行列を掛け合わせていく手法です。この過程を理解し、演習を重ねることで、行列の基本操作に慣れ、大学入試にも役立つスキルを身に付けることができます。
コメント