放物線と円、さらに動く直線を組み合わせた最大値問題は、図形の条件を式に変換する力が重要になります。特に「交点までの距離が最大になる条件」を考える問題では、座標設定と関数の最大化を組み合わせて解くことができます。
この記事では、原点を通る直線と半径√3の円が放物線y=x²と交わるとき、交点Aまでの距離OAが最大となる条件を順番に整理して解説します。
問題の条件を整理する
放物線はy=x²、円は半径√3で原点Oを通ります。円の中心は原点から距離√3の位置にあるため、円の方程式は中心を(x軸上の位置)として考える必要があります。
傾きが正の直線lは原点を通るので、直線の式をy=mx（m>0）と置きます。
この直線と放物線y=x²の交点を求めると、
x²=mx
となります。整理すると、
x(x-m)=0
したがって交点は、原点O(0,0)と、もう1つの点A(m,m²)になります。
点Aの座標と線分OAの長さを考える
点Aは、直線の傾きmによって変化します。Aの座標は、
A(m,m²)
です。
線分OAの長さをLとすると、距離の公式より、
L²=m²+(m²)²
となります。
つまり、
L²=m²+m⁴
になります。
このままだとmが大きいほど距離が大きくなりそうですが、円との交点という条件があるため、mには制限があります。
円の条件から傾きmの範囲を求める
円cは半径√3で原点を通るため、点Aもこの円周上にあります。
つまり、原点からAまでの距離は円の直径以下になります。円の中心と原点の距離が√3なので、原点を通る円の最大距離は直径である2√3です。
したがって、
OA≦2√3
となります。
最大値を求める場合は、この距離が最大になる位置を考えればよく、円の中心と点Aと原点が一直線上になる状態になります。
最大になる点Aの条件
半径√3の円で原点を通る場合、原点から最も遠い点は円の中心を通る反対側の点です。
そのとき、
OA=2√3
になります。
またAは放物線上にあるため、A(x,x²)と置いて距離条件を利用します。
OA²=x²+x⁴
最大条件より、
x²+x⁴=(2√3)²=12
となります。
x⁴+x²-12=0
ここでt=x²と置くと、
t²+t-12=0
(t+4)(t-3)=0
となります。
x²は正なので、
x²=3
したがって、
x=√3
となります。
Aの座標を求める
求めたxの値を放物線y=x²に代入します。
x=√3なので、
y=(√3)²=3
となります。
よって、点Aの座標は、
A(√3,3)
です。
傾きが正の直線という条件があるため、xが負の点は選ばず、正の解のみを採用します。
この問題で重要な考え方
このような最大値問題では、最初から微分を使うよりも、図形的な最大条件を利用すると簡単に解ける場合があります。
今回の場合、円の中で原点から最も遠い点を考えることで、最大距離が直径になることがポイントでした。
また、放物線上の点を(x,x²)と表すことで、図形問題を代数的な問題に変換できます。座標設定ができれば、あとは二次方程式として処理できます。
まとめ
原点を通る直線と放物線y=x²の交点Aは、直線の傾きをmとしてA(m,m²)と表せます。
さらに円の条件からOAの最大値は直径2√3となり、その条件を放物線の式に合わせることで、
x²+x⁴=12
を解けばよいことが分かります。
計算の結果、正の傾きという条件を満たす点はA(√3,3)となります。図形の最大値問題では、式だけでなく「最大になる瞬間の図形的な意味」を考えることが解答への近道になります。
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