x^4-3x^2+1の因数分解｜別解の形でも正しいのか、模範解答との違いを解説

因数分解の問題では、模範解答と違う形になった場合に「これは正解なのか」「採点で認められるのか」と迷うことがあります。特にx^4-3x^2+1のような式では、複数の因数分解の形が存在します。この記事では、この式の因数分解の考え方と、異なる形で答えた場合の扱いについて詳しく解説します。

x^4-3x^2+1を因数分解する基本的な考え方

対象となる式は、xの4次式ですが、x^4とx^2だけが含まれているため、x^2を1つの文字として考えることができます。

x^2=tと置くと、式は以下のようになります。

t^2-3t+1

これは2次方程式として解くことができ、解の公式を使うと、tの値は次のようになります。

t=(3±√5)/2

したがって、元の式は次のように表せます。

(x^2-(3+√5)/2)(x^2-(3-√5)/2)

この形は数学的には正しい因数分解です。

模範解答(x^2+x+1)(x^2-x-1)になる理由

一方、模範解答では以下の形になっています。

(x^2+x+1)(x^2-x-1)

実際に展開して確認すると、

(x^2+x+1)(x^2-x-1)=x^4-3x^2+1

となるため、こちらも正しい因数分解です。

では、なぜこの形が模範解答として選ばれているのでしょうか。それは、係数に整数だけを使った、より簡潔で扱いやすい形だからです。

別解の形は間違いなのか

質問にある

(x^2-((3+√5)/2))(x^2-((3-√5)/2))

という形は間違いではありません。展開すると元のx^4-3x^2+1に戻るため、正しい因数分解です。

ただし、学校数学の因数分解の問題では、一般的に「できるだけ簡単な形にする」という暗黙の目的があります。そのため、模範解答のような整数係数の因数分解がより好まれます。

例えば、同じ数を表す場合でも、3/2と書くより1.5と書いた方が分かりやすい場面があるように、数学では目的に応じて扱いやすい表現を選びます。

テストや採点ではどのように扱われるのか

採点基準は学校や先生によって異なりますが、因数分解の答えとして式が完全に正しければ、通常は正解扱いになる可能性が高いです。

ただし、「因数分解せよ」という問題では、途中式や最終的な形を見る場合があります。特に高校数学では、単に展開して一致するだけではなく、問題の意図に沿った形が求められることがあります。

今回の場合、提出するなら模範解答の

(x^2+x+1)(x^2-x-1)

を使う方が安全です。理由は、後の計算や別の問題への利用がしやすいためです。

2つの因数分解の形の違い

2つの答えは見た目が大きく異なりますが、どちらも同じ多項式を表しています。

前者は因数分解の完成形として見やすく、後者は方程式として考える場合に便利な形です。

例えば、この式を方程式x^4-3x^2+1=0の解を求める目的で使う場合は、後者の形の方が直接的に役立つことがあります。

まとめ

x^4-3x^2+1は、複数の正しい因数分解の形を持つ式です。

(x^2-((3+√5)/2))(x^2-((3-√5)/2))という答えも数学的には正しく、間違いではありません。

ただし、学校の因数分解問題では、通常は整数係数で表せる模範解答の(x^2+x+1)(x^2-x-1)の方が望ましい形です。数学では「正しいかどうか」だけでなく、「目的に合った最も扱いやすい表現かどうか」も重要になります。